Упр.15.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.49 а)log2(x) больше или равно 2/x;в)log2(-x) меньше или равно -2/x; б)log3(x) меньше или равно 3/x; г)log3(-x) больше или равно -3/x.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=\frac{2}{x}.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, неравенство $$\log_2 x \ge \frac{2}{x}$$ выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.
Найдём точку пересечения:
$$ \log_2 x=\frac{2}{x} $$
Проверим $$x=2$$:
$$ \log_2 2=1,\qquad \frac{2}{2}=1. $$
Следовательно, $$x=2$$ — точка пересечения, и
$$x\in[2;+\infty).$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=\frac{3}{x}.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Поэтому неравенство $$\log_3 x \le \frac{3}{x}$$ выполняется до точки их пересечения включительно.
Проверим $$x=3$$:
$$ \log_3 3=1,\qquad \frac{3}{3}=1. $$
Значит,
$$x\in(0;3].$$
в) Область определения: $$x<0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2(-x)$$ и $$g(x)=-\frac{2}{x}.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Следовательно, неравенство $$\log_2(-x)\le -\frac{2}{x}$$ выполняется между точками пересечения, включая их.
Проверим $$x=-2$$:
$$ \log_2(-(-2))=\log_2 2=1,\qquad -\frac{2}{-2}=1. $$
Тогда
$$x\in[-2;0).$$
г) Область определения: $$x<0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3(-x)$$ и $$g(x)=-\frac{3}{x}.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает. Поэтому неравенство $$\log_3(-x)\ge -\frac{3}{x}$$ выполняется слева от точки пересечения, включая её.
Проверим $$x=-3$$:
$$ \log_3(-(-3))=\log_3 3=1,\qquad -\frac{3}{-3}=1. $$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-3].$$