Упр.15.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.48 а)log3(x) меньше или равно 4-x; в)log5(x) больше или равно 6-x; б)log1/2(x) < x+1/2 г)log1/3(x) > x+2/3.

Подробный ответ

а) $$\log_3 x \le 4-x$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а $$g(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$ \log_3 3 = 1,\qquad 4-3=1. $$
Значит, при $$x=3$$ функции равны. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, то неравенство выполняется при $$x \le 3$$ с учётом ОДЗ.
$$x \in (0;3].$$
б) $$\log_{\frac12} x < x+\frac12$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$ \log_{\frac12}\frac12 = 1,\qquad \frac12+\frac12=1. $$
Следовательно, при $$x=\frac12$$ функции равны. Тогда неравенство выполняется при $$x>\frac12$$.
$$x \in \left(\frac12;+\infty\right).$$
в) $$\log_5 x \ge 6-x$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а $$g(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$ \log_5 5 = 1,\qquad 6-5=1. $$
Значит, при $$x=5$$ функции равны. Тогда неравенство выполняется при $$x \ge 5$$.
$$x \in [5;+\infty).$$
г) $$\log_{\frac13} x > x+\frac23$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а $$g(x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$ \log_{\frac13}\frac13 = 1,\qquad \frac13+\frac23=1. $$
Следовательно, при $$x=\frac13$$ функции равны. Тогда неравенство выполняется при $$0<x<\frac13$$.
$$x \in \left(0;\frac13\right).$$