Упр.15.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) $$\log_2 x \ge -x+1$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=-x+1.$$ На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.
Найдём пересечение:
$$\log_2 x=-x+1.$$
При $$x=1$$ получаем:
$$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$
Точка пересечения: $$x=1.$$
Следовательно, $$x\in[1;+\infty).$$
б) $$\log_{\frac{3}{7}} x>4x-4$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$f(x)=\log_{\frac{3}{7}} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а $$g(x)=4x-4$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac{3}{7}} x=4x-4.$$
При $$x=1$$:
$$\log_{\frac{3}{7}} 1=0,\qquad 4\cdot 1-4=0.$$
Так как левая часть убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется слева от точки пересечения:
$$x\in(0;1).$$
в) $$\log_2 x\le -x+1$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$f(x)=\log_2 x$$ возрастает, а $$g(x)=-x+1$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Точка пересечения та же:
$$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$
Значит, неравенство выполняется до точки пересечения включительно:
$$x\in(0;1].$$
г) $$\log_{\frac{1}{3}} x<2x-2$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$f(x)=\log_{\frac{1}{3}} x$$ убывает, а $$g(x)=2x-2$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac{1}{3}} x=2x-2.$$
При $$x=1$$:
$$\log_{\frac{1}{3}} 1=0,\qquad 2\cdot 1-2=0.$$
Так как левая часть убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется справа от точки пересечения:
$$x\in(1;+\infty).$$