Упр.15.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.46. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен ниже графика заданной линейной функции: а) у = log4 (х — 1), у = -х + 2; б) у = log1/2 (х + 4), у = -3х — 2?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=\log_4(x-1)$$ и $$y=-x+2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

Найдём точку пересечения графиков:

$$\log_4(x-1)=-x+2$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$\log_4(2-1)=\log_4 1=0,$$
$$-2+2=0.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$x=2.$$

На промежутке $$x>1$$ функция $$y=\log_4(x-1)$$ возрастает, а функция $$y=-x+2$$ убывает, поэтому ниже графика линейной функции логарифмический график расположен между точками пересечения и областью определения:

$$1<x<2.$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ и $$y=-3x-2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x+4>0,$$ то есть $$x>-4.$$

Найдём точку пересечения графиков:

$$\log_{\frac12}(x+4)=-3x-2.$$

Проверим значение $$x=0$$:

$$\log_{\frac12}(0+4)=\log_{\frac12}4=-2,$$
$$-3\cdot 0-2=-2.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$x=0.$$

Так как $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ убывает, а $$y=-3x-2$$ тоже убывает, сравним значения на промежутке $$-4<x<0.$$ Например, при $$x=-3$$:

$$\log_{\frac12}(1)=0,$$
$$-3(-3)-2=7,$$

то есть логарифмический график ниже линейного. Следовательно, искомый промежуток:

$$-4<x<0.$$