Упр.15.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.45. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен выше графика заданной линейной функции: а) у = log2(х), у = -х + 1; в) у = log1/7 х, у = 7х; б) У = log0,5(x), у = X -1; г) у = log3(x), у = -3х?
а) $$y=\log_2 x,\quad y=-x+1$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$y=-x+1$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_2 x=-x+1.$$
При $$x=1$$ получаем:
$$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$
Значит, графики пересекаются в точке $$x=1.$$
Так как логарифмическая функция возрастает, а линейная убывает, то выше расположен график $$y=\log_2 x$$ при $$x>1.$$
б) $$y=\log_{0,5} x,\quad y=x-1$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_{0,5} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$y=x-1$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_{0,5} x=x-1.$$
При $$x=1$$:
$$\log_{0,5} 1=0,\qquad 1-1=0.$$
Следовательно, графики пересекаются при $$x=1.$$
Так как первая функция убывает, а вторая возрастает, то выше расположен график $$y=\log_{0,5} x$$ при $$0<x<1.$$
в) $$y=\log_{\frac17} x,\quad y=7x$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_{\frac17} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$y=7x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac17} x=7x.$$
При $$x=\frac17$$:
$$\log_{\frac17}\frac17=1,\qquad 7\cdot\frac17=1.$$
Значит, графики пересекаются при $$x=\frac17.$$
Так как первая функция убывает, а вторая возрастает, то выше расположен график $$y=\log_{\frac17} x$$ при $$0<x<\frac17.$$
г) $$y=\log_3 x,\quad y=-3x$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right),$$ а функция $$y=-3x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_3 x=-3x.$$
При $$x=\frac13$$:
$$\log_3\frac13=-1,\qquad -3\cdot\frac13=-1.$$
Следовательно, графики пересекаются при $$x=\frac13.$$
Так как первая функция возрастает, а вторая убывает, то выше расположен график $$y=\log_3 x$$ при $$x>\frac13.$$
Ответ
а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(0;1)$$; в) $$x\in\left(0;\frac17\right)$$; г) $$x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$
