Упр.15.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$y=\left|\log_2 x-1\right|+\left|\log_2 x+1\right|$$

Рассмотрим знаки выражений под модулем.

1) Если $$x\ge 2,$$ то $$\log_2 x\ge 1,$$ значит

$$y=(\log_2 x-1)+(\log_2 x+1)=2\log_2 x.$$

2) Если $$\frac12\le x<2,$$ то $$-1\le \log_2 x<1,$$ значит

$$y=(1-\log_2 x)+(\log_2 x+1)=2.$$

3) Если $$x<\frac12,$$ то $$\log_2 x<-1,$$ значит

$$y=(1-\log_2 x)-(\log_2 x+1)=-2\log_2 x.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} -2\log_2 x, & 0<x<\frac12,\\ 2, & \frac12\le x<2,\\ 2\log_2 x, & x\ge 2. \end{cases} $$

График состоит из трёх частей: убывающей ветви $$y=-2\log_2 x$$ при $$0<x<\frac12,$$ горизонтального отрезка $$y=2$$ при $$\frac12\le x<2,$$ и возрастающей ветви $$y=2\log_2 x$$ при $$x\ge 2.$$

б) $$y=\left|\log_3 x+1\right|-\left|\log_3 x-1\right|$$

Рассмотрим знаки выражений под модулем.

1) Если $$x\ge 3,$$ то $$\log_3 x\ge 1,$$ значит

$$y=(\log_3 x+1)-(\log_3 x-1)=2.$$

2) Если $$\frac13\le x<3,$$ то $$-1\le \log_3 x<1,$$ значит

$$y=(\log_3 x+1)-(1-\log_3 x)=2\log_3 x.$$

3) Если $$x<\frac13,$$ то $$\log_3 x<-1,$$ значит

$$y=-(\log_3 x+1)-(1-\log_3 x)=-2.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} -2, & 0<x<\frac13,\\ 2\log_3 x, & \frac13\le x<3,\\ 2, & x\ge 3. \end{cases} $$

График состоит из горизонтальной прямой $$y=-2$$ при $$0<x<\frac13,$$ участка графика $$y=2\log_3 x$$ при $$\frac13\le x<3,$$ и горизонтальной прямой $$y=2$$ при $$x\ge 3.$$

Ответ

$$ \text{а) } y= \begin{cases} -2\log_2 x, & 0<x<\frac12,\\ 2, & \frac12\le x<2,\\ 2\log_2 x, & x\ge 2; \end{cases} \qquad \text{б) } y= \begin{cases} -2, & 0<x<\frac13,\\ 2\log_3 x, & \frac13\le x<3,\\ 2, & x\ge 3. \end{cases} $$