Упр.15.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.41. Постройте и прочитайте график функции: а) y= система -4x+4,если x < 1, log2(x), если x больше или равно 1; б)y= система -(x-4)2, если x < 5, log0,2(x),если x больше или равно 5; в)y= система log2(x), если 0 < x < 2, (1/2)x, если x больше или равно 2; г)y= система 1/x, если x < 0, log корень 2(x), если x > 0.
а) $$y=\begin{cases}-4x+4, & x<1,\\ \log_2 x, & x\ge 1.\end{cases}$$
Для первой части возьмём точки: $$x=0,\ y=4;\quad x=1,\ y=0.$$
Для второй части: $$\log_2 1=0,\ \log_2 2=1,\ \log_2 4=2,\ \log_2 8=3.$$
График состоит из луча прямой $$y=-4x+4$$ при $$x<1$$ и графика $$y=\log_2 x$$ при $$x\ge 1$$. В точке $$x=1$$ обе части дают $$y=0$$, поэтому график соединяется в точке $$ (1,0) $$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[0;+\infty).$$ Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$; наименьшее значение $$y_{\min}=0$$ при $$x=1$$.
б) $$y=\begin{cases}-(x-4)^2, & x<5,\\ \log_{0,2}x, & x\ge 5.\end{cases}$$
Первая часть — парабола с вершиной $$ (4,0) $$, ветви направлены вниз. Удобные точки: $$x=1,\ y=-9;\ x=2,\ y=-4;\ x=3,\ y=-1;\ x=5,\ y=-1.$$
Вторая часть: $$\log_{0,2}5=-1,\quad \log_{0,2}25=-2.$$ Так как основание $$0,2<1$$, логарифмическая функция убывает.
График состоит из части параболы при $$x<5$$ и убывающей логарифмической ветви при $$x\ge 5$$. В точке $$x=5$$ обе части дают $$y=-1$$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;0].$$ Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty;4]$$ и убывает на $$[4;+\infty)$$; наибольшее значение $$y_{\max}=0$$ при $$x=4$$.
в) $$y=\begin{cases}\log_2 x, & 0<x<2,\\ \left(\dfrac12\right)^x, & x\ge 2.\end{cases}$$
Для первой части: $$\log_2 1=0,\ \log_2 2=1.$$ Но точка $$x=2$$ не входит в промежуток $$0<x<2$$, поэтому там ставится пустая точка $$ (2,1) $$.
Для второй части: $$\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14,\quad \left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18.$$ В точке $$x=2$$ получаем $$y=\dfrac14$$, значит точка $$ (2,\tfrac14) $$ — закрашенная.
График: на интервале $$0<x<2$$ идёт ветвь $$y=\log_2 x$$, а при $$x\ge 2$$ — убывающая показательная функция $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$.
Свойства: $$D(f)=(0;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;1).$$ Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$ (0;2) $$ и убывает на $$ [2;+\infty) $$; вертикальная асимптота $$x=0$$, горизонтальная асимптота при $$x\to+\infty$$: $$y=0$$.
г) $$y=\begin{cases}\dfrac1x, & x<0,\\ \log_{\sqrt2}x, & x>0.\end{cases}$$
Для первой части возьмём точки: $$x=-2,\ y=-\dfrac12;\quad x=-1,\ y=-1;\quad x=-\dfrac12,\ y=-2.$$
Для второй части: $$\log_{\sqrt2}1=0,\ \log_{\sqrt2}2=2,\ \log_{\sqrt2}4=4,\ \log_{\sqrt2}8=6.$$
График состоит из левой ветви гиперболы $$y=\dfrac1x$$ при $$x<0$$ и возрастающей логарифмической ветви $$y=\log_{\sqrt2}x$$ при $$x>0$$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$ Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$ (0;+\infty) $$; вертикальная асимптота $$x=0$$.
Ответ
Построены графики функций и указаны их основные свойства: область определения, область значений, промежутки монотонности, асимптоты и характерные точки.
