Упр.15.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.40. Дана функция у = f(x), где f(х) = система -3x+3,если x меньше или равно 1, log1/3(x),если x > 1. а) Вычислите f(8), f(-6), f(О), f(3), f(9). б) Постройте и прочитайте график функции.

Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} -3x+3, & x\le 1,\\ \log_{\frac13}x, & x>1. \end{cases} $$

а) Вычислим значения функции.

Так как $$-8\le 1,$$ $$-6\le 1,$$ $$0\le 1,$$ то для этих значений используем формулу $$f(x)=-3x+3.$$

$$ f(-8)=-3\cdot(-8)+3=24+3=27, $$

$$ f(-6)=-3\cdot(-6)+3=18+3=21, $$

$$ f(0)=-3\cdot 0+3=3. $$

Так как $$3>1$$ и $$9>1,$$ используем формулу $$f(x)=\log_{\frac13}x.$$

$$ f(3)=\log_{\frac13}3=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{-1}\right)=-1, $$

$$ f(9)=\log_{\frac13}9=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{-2}\right)=-2. $$

б) Построим и прочитаем график функции.

При $$x\le 1$$ график — прямая $$y=-3x+3.$$ Для построения достаточно взять точки:

$$ x=0 \Rightarrow y=3,\qquad x=1 \Rightarrow y=0. $$

При $$x>1$$ график — логарифмическая функция $$y=\log_{\frac13}x.$$ Для построения удобно отметить точки:

$$ (1,0),\ (3,-1),\ (9,-2). $$

В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение $$y=0,$$ поэтому график соединяется в точке $$ (1,0). $$

По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=(-\infty;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• убывает на всей числовой прямой;
• не ограничена ни сверху, ни снизу;
• наибольшего и наименьшего значений не имеет;
• непрерывна на всей области определения;
• дифференцируема при $$x\ne 1.$$

Ответ

а) $$f(-8)=27,\ f(-6)=21,\ f(0)=3,\ f(3)=-1,\ f(9)=-2.$$

б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty);$$ функция ни чётная, ни нечётная, убывает на всей числовой прямой.