Упр.15.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.4. а) х1 = коорень 2, х2 = корень 5 степени 8; б)x1=2/корень 8, x2=4/корень 2; в) х1 = корень 3 степени 32, x2 = 16 корень 9 степени 128; г)x1=4/корень 32, x2=2/корень 128.

Подробный ответ

Используем определение логарифма и представим числа в виде степеней двойки:

а)
$$\sqrt{2}=2^{\frac12}, \qquad \sqrt[5]{8}=\sqrt[5]{2^3}=2^{\frac35}.$$
Тогда
$$y(\sqrt{2})=\log_2 \sqrt{2}=\log_2 2^{\frac12}=\frac12,$$
$$y(\sqrt[5]{8})=\log_2 \sqrt[5]{8}=\log_2 2^{\frac35}=\frac35.$$
б)
$$\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2^{\frac32}}=2^{-\frac12}, \qquad \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2^2}{2^{\frac12}}=2^{\frac32}.$$
Следовательно,
$$y\!\left(\frac{2}{\sqrt{8}}\right)=\log_2 2^{-\frac12}=-\frac12,$$
$$y\!\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)=\log_2 2^{\frac32}=\frac32.$$
в)
$$\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2^5}=2^{\frac53}, \qquad 16\sqrt[9]{128}=2^4\cdot \sqrt[9]{2^7}=2^4\cdot 2^{\frac79}=2^{\frac{43}{9}}.$$
Тогда
$$y(\sqrt[3]{32})=\log_2 2^{\frac53}=\frac53,$$
$$y(16\sqrt[9]{128})=\log_2 2^{\frac{43}{9}}=\frac{43}{9}.$$
г)
$$\frac{4}{\sqrt{32}}=\frac{2^2}{2^{\frac52}}=2^{-\frac12}, \qquad \frac{2}{\sqrt{128}}=\frac{2}{2^{\frac72}}=2^{-\frac52}.$$
Следовательно,
$$y\!\left(\frac{4}{\sqrt{32}}\right)=\log_2 2^{-\frac12}=-\frac12,$$
$$y\!\left(\frac{2}{\sqrt{128}}\right)=\log_2 2^{-\frac52}=-\frac52.$$