Упр.15.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.28 а)y=log2(x2+128); в)y=log3(x2-4x+13); б)y=log1/2(32-x2); г)y=log0,2((5 корень 4 степени 125) — x2)
а) $$y=\log_2(x^2+128)$$
Так как $$x^2 \ge 0,$$ то
$$x^2+128 \ge 128.$$
Основание логарифма $$2>1,$$ значит функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=0.$$
$$y_{\min}=\log_2 128=7.$$
Следовательно, $$E(y)=[7;+\infty).$$
б) $$y=\log_{\frac12}(32-x^2)$$
Так как $$x^2 \ge 0,$$ то
$$32-x^2 \le 32.$$
Основание логарифма $$\frac12<1,$$ значит функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=0.$$
$$y_{\max}=\log_{\frac12} 32=\log_{\frac12} 2^5=-5.$$
Следовательно, $$E(y)=[-5;+\infty).$$
в) $$y=\log_3(x^2-4x+13)$$
Преобразуем квадратный трёхчлен:
$$x^2-4x+13=(x-2)^2+9.$$
Так как $$ (x-2)^2 \ge 0,$$ то
$$x^2-4x+13 \ge 9.$$
Основание логарифма $$3>1,$$ значит функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=2.$$
$$y_{\min}=\log_3 9=2.$$
Следовательно, $$E(y)=[2;+\infty).$$
г) $$y=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right)$$
Так как $$x^2 \ge 0,$$ то
$$5\sqrt[4]{125}-x^2 \le 5\sqrt[4]{125}.$$
Основание логарифма $$0,2<1,$$ значит функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=0.$$
$$y_{\max}=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}\right).$$
Заметим, что
$$5\sqrt[4]{125}=5\cdot 125^{1/4}=5\cdot (5^3)^{1/4}=5^{7/4},$$
а значит
$$y_{\max}=\log_{1/5} 5^{7/4}=-\frac{7}{4}.$$
Следовательно, $$E(y)=\left[-\frac74;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$[7;+\infty)$$; б) $$[-5;+\infty)$$; в) $$[2;+\infty)$$; г) $$\left[-\frac74;+\infty\right).$$
