Упр.15.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.27 а)y=log1/Пи(x2+пи); в)y=log0,1(x2+1); б)log0,3(x2-4x+5); г)y=log1/3(x2-18x+90).

Подробный ответ

а) $$y=\log_{\frac{1}{\pi}}(x^2+\pi)$$
Так как $$0<\frac{1}{\pi}<1,$$ функция $$y=\log_{\frac{1}{\pi}} t$$ убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента.
$$x^2+\pi \ge \pi,$$ причём равенство при $$x=0.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{\frac{1}{\pi}}\pi=-1.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,-1].$$
б) $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+5)$$
Так как $$0<0,3<1,$$ функция $$y=\log_{0,3} t$$ убывает.
Преобразуем квадратный трёхчлен:
$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \ge 1,$$ причём равенство при $$x=2.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,3}1=0.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,0].$$
в) $$y=\log_{0,1}(x^2+1)$$
Так как $$0<0,1<1,$$ функция $$y=\log_{0,1} t$$ убывает.
$$x^2+1 \ge 1,$$ причём равенство при $$x=0.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,1}1=0.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,0].$$
г) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2-18x+90)$$
Так как $$0<\frac{1}{3}<1,$$ функция $$y=\log_{\frac{1}{3}} t$$ убывает.
Преобразуем выражение под логарифмом:
$$x^2-18x+90=(x-9)^2+9 \ge 9,$$ причём равенство при $$x=9.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{\frac{1}{3}}9=\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=-2.$$
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;\,-2].$$