Упр.15.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.23 Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке: а) у = log2(1/(2x+3)), [0; 4]; б) У = log0,5(1/(2x-3)), (2; 3]; в) у = log3(1/(3x+6)); [1; 7]; г) У = log0,2(1/(5x-24)),[2; 3].

Подробный ответ

а) $$y=\log_2\frac{1}{2x+3}, \quad [0;4].$$
Так как $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 t$$ возрастает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наибольшем значении аргумента:
$$t=\frac{1}{2x+3}.$$
На отрезке $$[0;4]$$ знаменатель $$2x+3$$ возрастает, поэтому $$t$$ убывает. Тогда
$$t_{\max}=\frac{1}{2\cdot 0+3}=\frac{1}{3}.$$
Следовательно,
$$y_{\max}=\log_2\frac{1}{3}=-\log_2 3.$$
б) $$y=\log_{0,5}\frac{1}{2x-3}, \quad (2;3].$$
Так как $$0,5<1,$$ функция $$y=\log_{0,5} t$$ убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента:
$$t=\frac{1}{2x-3}.$$
На промежутке $$ (2;3] $$ знаменатель $$2x-3$$ возрастает, поэтому $$t$$ убывает. Минимум достигается при $$x=3$$:
$$t_{\min}=\frac{1}{2\cdot 3-3}=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,5}\frac{1}{3}=\log_2 3.$$
в) $$y=\log_3\frac{1}{3x+6}, \quad [1;7].$$
Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 t$$ возрастает. Значит, наибольшее значение $$y$$ соответствует наибольшему значению аргумента:
$$t=\frac{1}{3x+6}.$$
На отрезке $$[1;7]$$ знаменатель $$3x+6$$ возрастает, поэтому $$t$$ убывает. Тогда
$$t_{\max}=\frac{1}{3\cdot 1+6}=\frac{1}{9}.$$
Следовательно,
$$y_{\max}=\log_3\frac{1}{9}=\log_3 3^{-2}=-2.$$
г) $$y=\log_{0,2}\frac{1}{5x-24}, \quad [2;3].$$
Так как $$0,2<1,$$ функция $$y=\log_{0,2} t$$ убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента:
$$t=\frac{1}{5x-24}.$$
На отрезке $$[2;3]$$ знаменатель $$5x-24$$ возрастает, поэтому $$t$$ убывает. Минимум достигается при $$x=3$$:
$$t_{\min}=\frac{1}{5\cdot 3-24}=\frac{1}{11}.$$
Тогда
$$y_{\max}=\log_{0,2}\frac{1}{11}=\log_{1/5}\frac{1}{11}=-\log_{0,2}11.$$