Упр.15.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.22 Найдите наименьшее значение функции: а) у = log2(х2 + 128); в) у = log3(x2 — 4х + 13); б)y=log1/2(32-x2) г) у = log0,2(5 корень 4 степени 125 — х2).

1. а) $$y=\log_2(x^2+128)$$

   Так как $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 t$$ возрастает. Значит, наименьшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента:

   $$x^2+128 \ge 128,$$

   минимум при $$x=0.$$ Тогда

   $$y_{\min}=\log_2 128=\log_2 2^7=7.$$

2. б) $$y=\log_{\frac12}(32-x^2)$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12} t$$ убывает. Поэтому наименьшее значение $$y$$ соответствует наибольшему значению аргумента:

   $$32-x^2 \le 32,$$

   максимум при $$x=0.$$ Тогда

   $$y_{\min}=\log_{\frac12} 32=\log_{\frac12} 2^5=-5.$$

3. в) $$y=\log_3(x^2-4x+13)$$

   Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 t$$ возрастает. Найдём наименьшее значение выражения под логарифмом:

   $$x^2-4x+13=(x-2)^2+9 \ge 9,$$

   минимум при $$x=2.$$ Тогда

   $$y_{\min}=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$

4. г) $$y=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}-x^2\right)$$

   Так как $$0<0,2<1,$$ функция $$y=\log_{0,2} t$$ убывает. Значит, наименьшее значение $$y$$ достигается при наибольшем значении аргумента:

   $$5\sqrt[4]{125}-x^2 \le 5\sqrt[4]{125},$$

   максимум при $$x=0.$$ Тогда

   $$y_{\min}=\log_{0,2}\!\left(5\sqrt[4]{125}\right).$$

   Преобразуем:

   $$5\sqrt[4]{125}=5\cdot 125^{\frac14}=5\cdot (5^3)^{\frac14}=5^{\frac74}.$$

   Так как $$0,2=\frac15,$$ получаем

   $$y_{\min}=\log_{\frac15} 5^{\frac74}=\frac74\log_{\frac15}5=\frac74\cdot(-1)=-\frac74.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$-5$$; в) $$2$$; г) $$-\frac74$$.