Упр.15.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.21. Найдите наибольшее значение функции: а) у = log1/Пи (х2 + Пи); в) у = log0,1 (x2 + 1); б) у = log0,3(х2 — 4х + 5); г) У = log1/3(x2 — 18x + 90).

1. а) $$y=\log_{1/\pi}(x^2+\pi)$$

   Так как $$0<\frac{1}{\pi}<1,$$ функция $$y=\log_{1/\pi} t$$ убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента $$x^2+\pi$$.

   Поскольку $$x^2\ge 0,$$ то

   $$x^2+\pi \ge \pi.$$

   Минимум аргумента равен $$\pi$$ при $$x=0$$. Тогда

   $$y_{\max}=\log_{1/\pi}\pi=-1.$$

2. б) $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+5)$$

   Так как $$0<0,3<1,$$ функция $$y=\log_{0,3} t$$ убывает. Значит, нужно найти минимум выражения $$x^2-4x+5$$.

   $$x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \ge 1.$$

   Минимум равен $$1$$ при $$x=2$$. Тогда

   $$y_{\max}=\log_{0,3}1=0.$$

3. в) $$y=\log_{0,1}(x^2+1)$$

   Так как $$0<0,1<1,$$ функция $$y=\log_{0,1} t$$ убывает. Минимум аргумента:

   $$x^2+1 \ge 1,$$

   и он достигается при $$x=0$$. Тогда

   $$y_{\max}=\log_{0,1}1=0.$$

4. г) $$y=\log_{1/3}(x^2-18x+90)$$

   Так как $$0<\frac{1}{3}<1,$$ функция $$y=\log_{1/3} t$$ убывает. Найдём минимум аргумента:

   $$x^2-18x+90=(x-9)^2+9 \ge 9.$$

   Минимум равен $$9$$ при $$x=9$$. Тогда

   $$y_{\max}=\log_{1/3}9=\log_{1/3}3^2=-2.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$-2$$.