Упр.15.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.20. а) На каком промежутке функция у = log3(x) принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2? б) На каком промежутке функция у = log0,5(x) принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3?

Подробный ответ

а) Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, так как $$3>1$$. Значит, наибольшее значение $$4$$ она принимает при правом конце промежутка, а наименьшее значение $$-2$$ — при левом.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$\log_3 x=4 \Rightarrow x=3^4=81,$$
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$

Следовательно, искомый промежуток:

$$x\in\left[\frac{1}{9};\,81\right].$$

б) Функция $$y=\log_{0,5} x$$ убывает, так как $$0,5<1$$. Поэтому наибольшее значение $$-1$$ достигается при левом конце промежутка, а наименьшее значение $$-3$$ — при правом.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$\log_{0,5} x=-1 \Rightarrow x=(0,5)^{-1}=2,$$
$$\log_{0,5} x=-3 \Rightarrow x=(0,5)^{-3}=8.$$

Значит, искомый промежуток:

$$x\in[2;\,8].$$