Упр.15.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.19 а)y=log5(x), [1/125;25]; в)y=log6(x), [1/216;36]; б)y=log4/5(x), [16/25;26/16]; г)y=log2/7(x), [8/343;343/8].
а) $$y=\log_5 x,\quad \left[\frac{1}{125};\,25\right]$$
Так как $$5>1,$$ функция возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=\frac{1}{125},$$ а наибольшее — при $$x=25.$$
$$\log_5 \frac{1}{125}=\log_5 5^{-3}=-3,$$
$$\log_5 25=\log_5 5^2=2.$$Следовательно, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=2.$$
б) $$y=\log_{\frac45} x,\quad \left[\frac{16}{25};\,\frac{25}{16}\right]$$
Так как $$0<\frac45<1,$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается при $$x=\frac{16}{25},$$ а наименьшее — при $$x=\frac{25}{16}.$$
$$\log_{\frac45}\frac{16}{25}=\log_{\frac45}\left(\frac45\right)^2=2,$$
$$\log_{\frac45}\frac{25}{16}=\log_{\frac45}\left(\frac45\right)^{-2}=-2.$$Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$
в) $$y=\log_6 x,\quad \left[\frac{1}{216};\,36\right]$$
Так как $$6>1,$$ функция возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=\frac{1}{216},$$ а наибольшее — при $$x=36.$$
$$\log_6 \frac{1}{216}=\log_6 6^{-3}=-3,$$
$$\log_6 36=\log_6 6^2=2.$$Следовательно, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=2.$$
г) $$y=\log_{\frac27} x,\quad \left[\frac{8}{343};\,\frac{343}{8}\right]$$
Так как $$0<\frac27<1,$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается при $$x=\frac{8}{343},$$ а наименьшее — при $$x=\frac{343}{8}.$$
$$\log_{\frac27}\frac{8}{343}=\log_{\frac27}\left(\frac27\right)^3=3,$$
$$\log_{\frac27}\frac{343}{8}=\log_{\frac27}\left(\frac27\right)^{-3}=-3.$$Следовательно, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=3.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=2$$;
б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$;
в) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=2$$;
г) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=3$$.
