Упр.15.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: 15.18 а)y=log3(x), [1/3;9]; в)y=lg(x), [1;1000]; б)y=log1/2(x), [1/8;16]; г)y=log2/3(x), [8/27;81/16].

1. а) $$y=\log_3 x,\quad \left[\frac13;9\right]$$

   Так как $$3>1,$$ функция возрастает на данном отрезке. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=\frac13,$$ а наибольшее — при $$x=9.$$

   $$y\left(\frac13\right)=\log_3 \frac13=\log_3 3^{-1}=-1,$$
   $$y(9)=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$

2. б) $$y=\log_{\frac12} x,\quad \left[\frac18;16\right]$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ функция убывает на данном отрезке. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=\frac18,$$ а наименьшее — при $$x=16.$$

   $$y\left(\frac18\right)=\log_{\frac12}\frac18=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^3=3,$$
   $$y(16)=\log_{\frac12}16=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-4}=-4.$$

3. в) $$y=\lg x,\quad [1;1000]$$

   Так как $$10>1,$$ функция возрастает на данном отрезке. Значит,

   $$y(1)=\lg 1=\lg 10^0=0,$$
   $$y(1000)=\lg 1000=\lg 10^3=3.$$

4. г) $$y=\log_{\frac23} x,\quad \left[\frac{8}{27};\frac{81}{16}\right]$$

   Так как $$0<\frac23<1,$$ функция убывает на данном отрезке. Поэтому

   $$y\left(\frac{8}{27}\right)=\log_{\frac23}\frac{8}{27}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^3=3,$$
   $$y\left(\frac{81}{16}\right)=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^{-4}=-4.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=2.$$
б) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=3.$$
в) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=3.$$
г) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=3.$$