Упр.15.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.11 Дано: f(x)=log1/3(x). Докажите,что выполняется следующее соотношение: а) f((1/3)(2x+1))=2x+1; б)f((1/9)x — f((1/27)(x-1))=3-x.

Используем определение логарифма: если $$f(x)=\log_{\frac13}x,$$ то для любого положительного аргумента $$f\!\left(\left(\frac13\right)^t\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^t\right)=t.$$

1. $$f\!\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=2x+1.$$
   Что и требовалось доказать.

2. $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=3-x.$$

   Так как $$\frac19=\left(\frac13\right)^2,$$ то
   $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac19\right)^x\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{2x}\right)=2x.$$

   Далее,
   $$\frac1{27}=\left(\frac13\right)^3,$$
   значит
   $$f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=\log_{\frac13}\left(\left(\frac13\right)^{3x-3}\right)=3x-3.$$

   Тогда
   $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=2x-(3x-3)=3-x.$$
   Что и требовалось доказать.

Ответ

$$f\!\left(\left(\frac13\right)^{2x+1}\right)=2x+1,$$ $$f\!\left(\left(\frac19\right)^x\right)-f\!\left(\left(\frac1{27}\right)^{x-1}\right)=3-x.$$