Упр.15.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 15.10. Дано: f(х) = log2(х). Докажите, что выполняется следующее соотношение: a) f(2х) = х; б) f(4х) + f(8х) = 5x.

Дана функция $$f(x)=\log_2 x.$$ Проверим оба соотношения.

1. $$f(2^x)=\log_2 2^x=x.$$

   Следовательно, первое соотношение верно.

2. $$f(4^x)+f(8^x)=\log_2 4^x+\log_2 8^x.$$

   Представим основания как степени двойки:

   $$\log_2 4^x=\log_2 (2^{2x})=2x,$$

   $$\log_2 8^x=\log_2 (2^{3x})=3x.$$

   Тогда

   $$f(4^x)+f(8^x)=2x+3x=5x.$$

   Следовательно, второе соотношение тоже верно.

Ответ

$$f(2^x)=x,\qquad f(4^x)+f(8^x)=5x.$$