Упр.14.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 14.8 а)log5((3^7*3^-2,7)/(5^корень 2)2 *5)); б)log 5 ((5^корень 3 * 5^(2-корень 3))/((5^корень 3)2*5); в)log 2 ((2^0,5*2^-0,7)/((2^-0,2)4); г)log 6 ((6^(корень 2 — 1) * 6^(корень 2 +1)) /6^(корень 2 — 3)2.

1. а) $$\log_3 \frac{3^7 \cdot 3^{-2,7}}{(3^{-0,3})^4}$$

   Сначала упростим дробь:

   $$3^7 \cdot 3^{-2,7}=3^{7-2,7}=3^{4,3},$$

   $$\left(3^{-0,3}\right)^4=3^{-1,2}.$$

   Тогда

   $$\log_3 \frac{3^{4,3}}{3^{-1,2}}=\log_3 3^{4,3-(-1,2)}=\log_3 3^{5,5}=5,5.$$

2. б) $$\log_5 \frac{5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}}}{(5^{\sqrt{3}})^2 \cdot 5}$$

   Упростим выражение под логарифмом:

   $$5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}}=5^2,$$

   $$\left(5^{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot 5=5^{2\sqrt{3}} \cdot 5=5^{2\sqrt{3}+1}.$$

   Тогда

   $$\log_5 \frac{5^2}{5^{2\sqrt{3}+1}}=\log_5 5^{2-(2\sqrt{3}+1)}=\log_5 5^{1-2\sqrt{3}}=1-2\sqrt{3}.$$

3. в) $$\log_2 \frac{2^{0,5} \cdot 2^{-0,7}}{(2^{-0,2})^4}$$

   Имеем:

   $$2^{0,5} \cdot 2^{-0,7}=2^{-0,2},$$

   $$\left(2^{-0,2}\right)^4=2^{-0,8}.$$

   Тогда

   $$\log_2 \frac{2^{-0,2}}{2^{-0,8}}=\log_2 2^{-0,2-(-0,8)}=\log_2 2^{0,6}=0,6.$$

4. г) $$\log_6 \frac{6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}}{(6^{\sqrt{2}-3})^2}$$

   Упростим числитель и знаменатель:

   $$6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}=6^{2\sqrt{2}},$$

   $$\left(6^{\sqrt{2}-3}\right)^2=6^{2\sqrt{2}-6}.$$

   Тогда

   $$\log_6 \frac{6^{2\sqrt{2}}}{6^{2\sqrt{2}-6}}=\log_6 6^6=6.$$

Ответ

а) $$5,5$$; б) $$1-2\sqrt{3}$$; в) $$0,6$$; г) $$6$$.