Упр.14.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 14.30 Решите уравнение с параметром a: а)4x-2x+a=a*2x; б)9x-(2a+1)*3x+a2+a-2=0.

а) Преобразуем уравнение:

$$4^x-2^x+a=a\cdot 2^x$$

$$2^{2x}-2^x-a\cdot 2^x+a=0$$

$$2^{2x}-(a+1)\cdot 2^x+a=0$$

Положим $$y=2^x$$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-(a+1)y+a=0$$

$$D=(a+1)^2-4a=(a-1)^2$$

$$y_{1,2}=\frac{(a+1)\pm(a-1)}{2}$$

$$y_1=1,\qquad y_2=a$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$

$$2^x=a \Rightarrow x=\log_2 a$$

Так как $$2^x>0$$ при любых $$x$$, значение $$2^x=a$$ возможно только при $$a>0$$.

Если $$a=1$$, оба корня совпадают, и получается одно решение $$x=0$$.

б) Преобразуем уравнение:

$$9^x-(2a+1)\cdot 3^x+a^2+a-2=0$$

$$3^{2x}-(2a+1)\cdot 3^x+(a^2+a-2)=0$$

Положим $$y=3^x$$, тогда:

$$y^2-(2a+1)y+(a^2+a-2)=0$$

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+a-2)=9$$

$$y_{1,2}=\frac{(2a+1)\pm 3}{2}$$

$$y_1=a-1,\qquad y_2=a+2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=a-1 \Rightarrow x=\log_3(a-1)$$

$$3^x=a+2 \Rightarrow x=\log_3(a+2)$$

Так как $$3^x>0$$, нужно учитывать область допустимых значений:

• $$a-1>0 \Rightarrow a>1$$;
• $$a+2>0 \Rightarrow a>-2$$.

При $$a=1$$ первый корень исчезает, при $$a=-2$$ второй корень не подходит.

Ответ

а) $$x=0$$ при $$a\le 0$$; $$x=0,\ x=\log_2 a$$ при $$a>0$$.

б) $$x=\log_3(a+2)$$ при $$-2<a\le 1$$; $$x=\log_3(a+2),\ x=\log_3(a-1)$$ при $$a>1$$.