Упр.14.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 14.29 а)4x-5*2x больше или равно -6; б)16x меньше или равно 6*4x-5; в)9x-7*3x < -12; г)9*7x+14 > -49x.
а) $$4^x-5\cdot 2^x\ge -6$$
Положим $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и $$4^x=(2^x)^2=y^2$$. Получаем:
$$y^2-5y+6\ge 0$$
$$ (y-2)(y-3)\ge 0 $$
Отсюда $$y\le 2$$ или $$y\ge 3$$.
Так как $$y=2^x$$, то:
$$2^x\le 2 \Rightarrow x\le 1,$$
$$2^x\ge 3 \Rightarrow x\ge \log_2 3.$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty).$$
б) $$16^x\le 6\cdot 4^x-5$$
Положим $$y=4^x$$, тогда $$y>0$$ и $$16^x=(4^x)^2=y^2$$. Получаем:
$$y^2-6y+5\le 0$$
$$ (y-1)(y-5)\le 0 $$
Отсюда $$1\le y\le 5$$.
Так как $$y=4^x$$, то:
$$4^x\ge 1 \Rightarrow x\ge 0,$$
$$4^x\le 5 \Rightarrow x\le \log_4 5.$$
Следовательно, $$x\in[0;\log_4 5].$$
в) $$9^x-7\cdot 3^x<-12$$
Преобразуем:
$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12<0$$
Положим $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:
$$y^2-7y+12<0$$
$$ (y-3)(y-4)<0 $$
Отсюда $$3<y<4$$.
Так как $$y=3^x$$, то:
$$3^x>3 \Rightarrow x>1,$$
$$3^x<4 \Rightarrow x<\log_3 4.$$
Следовательно, $$x\in(1;\log_3 4).$$
г) $$9\cdot 7^x+14>-49^x$$
Перенесём всё в левую часть:
$$49^x+9\cdot 7^x+14>0$$
Положим $$y=7^x$$, тогда $$y>0$$ и $$49^x=(7^x)^2=y^2$$. Получаем:
$$y^2+9y+14>0$$
$$ (y+7)(y+2)>0 $$
Так как $$y>0$$, то выражение всегда положительно. Значит, неравенство верно при любых $$x$$.
Ответ
а) $$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty)$$; б) $$x\in[0;\log_4 5]$$; в) $$x\in(1;\log_3 4)$$; г) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
