Упр.14.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 14.27 а)2x больше или равно 9; б)12x меньше или равно 7; в)(1/3)x < 4; г)(0,2)x > 5.

1. $$2^x \ge 9$$
   
   Так как функция $$2^x$$ возрастает, получаем:
   $$x \ge \log_2 9.$$
   
   Следовательно,
   $$x \in [\log_2 9;\,+\infty).$$
2. $$12^x \le 7$$
   
   Функция $$12^x$$ возрастает, значит:
   $$x \le \log_{12} 7.$$
   
   Следовательно,
   $$x \in (-\infty;\,\log_{12} 7].$$
3. $$ \left(\frac13\right)^x < 4 $$
   Представим левую часть как степень числа $$3$$:
   $$ \left(\frac13\right)^x = 3^{-x}. $$
   Тогда
   $$ 3^{-x} < 4. $$ Так как функция $$3^t$$ возрастает, имеем: $$ -x < \log_3 4. $$ Умножаем на $$-1$$, меняя знак неравенства: $$ x > -\log_3 4. $$
   Следовательно,
   $$x \in (-\log_3 4;\,+\infty).$$
4. $$ (0{,}2)^x > 5 $$
   
   Так как $$0{,}2=\frac15$$, получаем:
   $$ \left(\frac15\right)^x > 5 = \left(\frac15\right)^{-1}. $$
   Основание $$\frac15$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, поэтому функция убывает, и знак неравенства при переходе к показателям меняется:
   $$ x < -1. $$ Следовательно, $$x \in (-\infty;\,-1).$$

Ответ

а) $$x \in [\log_2 9;\,+\infty)$$;
б) $$x \in (-\infty;\,\log_{12} 7]$$;
в) $$x \in (-\log_3 4;\,+\infty)$$;
г) $$x \in (-\infty;\,-1)$$.