Упр.14.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 14.26 а) 9(x+1)+6=189*3(x-2); б)25(x+1))+3=100*5(x-1); в)4(x+1)+5=24*2(x-1); г)(1/4)(x+1)+3=(1/2)(x-1).

Подробный ответ

а) $$9^{x+1}+6=189\cdot 3^{x-2}$$
$$9\cdot 9^x-189\cdot \frac{1}{9}\cdot 3^x+6=0$$
$$9\cdot 3^{2x}-21\cdot 3^x+6=0$$
Пусть $$y=3^x$$, тогда получаем:
$$9y^2-21y+6=0$$
$$3y^2-7y+2=0$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$$
$$y_1=\frac{7-5}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}, \quad y_2=\frac{7+5}{2\cdot 3}=2$$
Тогда:
$$3^x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$$
$$3^x=2\Rightarrow x=\log_3 2$$
б) $$25^{x+1}+3=100\cdot 5^{x-1}$$
$$25\cdot 25^x-100\cdot \frac{1}{5}\cdot 5^x+3=0$$
$$25\cdot 5^{2x}-20\cdot 5^x+3=0$$
Пусть $$y=5^x$$, тогда:
$$25y^2-20y+3=0$$
$$D=20^2-4\cdot 25\cdot 3=400-300=100$$
$$y_1=\frac{20-10}{2\cdot 25}=\frac{1}{5}, \quad y_2=\frac{20+10}{2\cdot 25}=\frac{3}{5}$$
Тогда:
$$5^x=\frac{1}{5}\Rightarrow x=-1$$
$$5^x=\frac{3}{5}\Rightarrow 5^{x+1}=3\Rightarrow x+1=\log_5 3\Rightarrow x=\log_5 3-1$$
в) $$4^{x+1}+5=24\cdot 2^{x-1}$$
$$4\cdot 4^x-24\cdot \frac{1}{2}\cdot 2^x+5=0$$
$$4\cdot 2^{2x}-12\cdot 2^x+5=0$$
Пусть $$y=2^x$$, тогда:
$$4y^2-12y+5=0$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 5=144-80=64$$
$$y_1=\frac{12-8}{2\cdot 4}=\frac{1}{2}, \quad y_2=\frac{12+8}{2\cdot 4}=\frac{5}{2}$$
Тогда:
$$2^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-1$$
$$2^x=\frac{5}{2}\Rightarrow 2^{x+1}=5\Rightarrow x+1=\log_2 5\Rightarrow x=\log_2 5-1$$
г) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1}+3=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$$
$$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^x-2\left(\frac{1}{2}\right)^x+3=0$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}-8\left(\frac{1}{2}\right)^x+12=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$, тогда:
$$y^2-8y+12=0$$
$$D=8^2-4\cdot 12=64-48=16$$
$$y_1=\frac{8-4}{2}=2, \quad y_2=\frac{8+4}{2}=6$$
Тогда:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x=2\Rightarrow x=-1$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x=6\Rightarrow 2^{-x}=6\Rightarrow -x=\log_2 6\Rightarrow x=-\log_2 6$$