Упр.14.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 14.25 а)4x-5*2x=-6; б)16x=6*4x-5; в)9x-7*3x=-12; г)-9*7x+14=-49x.

Подробный ответ

а)

$$4^x-5\cdot 2^x=-6$$
$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6=0$$
Пусть $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-5y+6=0$$
$$ (y-2)(y-3)=0 $$
$$y_1=2,\quad y_2=3$$
Тогда:
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
$$2^x=3 \Rightarrow x=\log_2 3$$

б)

$$16^x=6\cdot 4^x-5$$
$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5=0$$
Пусть $$y=4^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-6y+5=0$$
$$ (y-1)(y-5)=0 $$
$$y_1=1,\quad y_2=5$$
Тогда:
$$4^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$4^x=5 \Rightarrow x=\log_4 5$$

в)

$$9^x-7\cdot 3^x=-12$$
$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12=0$$
Пусть $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-7y+12=0$$
$$ (y-3)(y-4)=0 $$
$$y_1=3,\quad y_2=4$$
Тогда:
$$3^x=3 \Rightarrow x=1$$
$$3^x=4 \Rightarrow x=\log_3 4$$

г)

$$-9\cdot 7^x+14=-49^x$$
$$7^{2x}-9\cdot 7^x+14=0$$
Пусть $$y=7^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-9y+14=0$$
$$ (y-2)(y-7)=0 $$
$$y_1=2,\quad y_2=7$$
Тогда:
$$7^x=2 \Rightarrow x=\log_7 2$$
$$7^x=7 \Rightarrow x=1$$