Упр.13.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.9 а)корень 2^-1 * корень 2(x2-7,5) больше или равно 2^-7; б)0,9(x2-4x) < (10/9)3; в)14(x2+x) меньше или равно 196; г)(1/корень 3)(3x2-13x) > 9.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}} \ge 2^{-7}$$
$$2^{-\frac12}\cdot 2^{\frac{x^2-7,5}{2}} \ge 2^{-7}$$
$$2^{-\frac12+\frac{x^2-7,5}{2}} \ge 2^{-7}$$
Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:
$$-\frac12+\frac{x^2-7,5}{2}\ge -7$$
$$-1+x^2-7,5\ge -14$$
$$x^2\ge -5,5$$
Это верно при любом $$x\in \mathbb{R}$$.
б) $$0,9^{x^2-4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3$$
$$\left(\frac{10}{9}\right)^3=0,9^{-3}$$
Тогда
$$0,9^{x^2-4x} < 0,9^{-3}$$
Так как $$0<0,9<1$$, получаем неравенство для показателей с противоположным знаком:
$$x^2-4x>-3$$
$$x^2-4x+3>0$$
$$ (x-1)(x-3)>0 $$
Отсюда
$$x<1 \text{ или } x>3.$$
в) $$14^{x^2+x}\le 196$$
$$196=14^2$$, значит
$$14^{x^2+x}\le 14^2$$
Так как $$14>1$$, сравниваем показатели:
$$x^2+x\le 2$$
$$x^2+x-2\le 0$$
$$ (x+2)(x-1)\le 0 $$
Следовательно,
$$-2\le x\le 1.$$
г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x} > 9$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}}=3^{-\frac12}, \qquad 9=3^2$$
Тогда
$$3^{-\frac12(3x^2-13x)} > 3^2$$
Так как $$3>1$$, получаем:
$$-\frac12(3x^2-13x)>2$$
$$3x^2-13x<-4$$
$$3x^2-13x+4<0$$
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 4=169-48=121$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 11}{6}$$
$$x_1=\frac13,\qquad x_2=4$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$\frac13<x<4.$$