Упр.13.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.6 а)2(3x+6) меньше или равно (1/4)(x+3); б)(7/12)(-2x+3) > (12/7)(3+2x); в)25(-x+3) больше или равно (1/5)(3x-1); г)(5/3)(2x-8) < (9/25)(-x-3).

1. а) $$2^{3x+6}\le \left(\frac14\right)^{x-1}$$

   Представим правую часть как степень числа $2$:

   $$\left(\frac14\right)^{x-1}=2^{-2(x-1)}=2^{-2x+2}$$

   Тогда

   $$2^{3x+6}\le 2^{-2x+2}$$

   Так как основание $2>1$, сравниваем показатели:

   $$3x+6\le -2x+2$$

   $$5x\le -4$$

   $$x\le -\frac45$$

2. б) $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}=\left(\frac{12}{7}\right)^{2x-3}$$

   Получаем:

   $$\left(\frac{12}{7}\right)^{2x-3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$$

   Так как основание $\frac{12}{7}>1$, сравниваем показатели:

   $$2x-3>3+2x$$

   $$-3>3$$

   Это неверно при любом $x$, значит решений нет.

3. в) $$25^{-x+3}\ge \left(\frac15\right)^{3x-1}$$

   Представим всё в виде степеней числа $5$:

   $$25^{-x+3}=5^{2(-x+3)}=5^{-2x+6}$$

   $$\left(\frac15\right)^{3x-1}=5^{-(3x-1)}=5^{-3x+1}$$

   Тогда

   $$5^{-2x+6}\ge 5^{-3x+1}$$

   Так как основание $5>1$, сравниваем показатели:

   $$-2x+6\ge -3x+1$$

   $$x\ge -5$$

4. г) $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{9}{25}=\left(\frac35\right)^2=\left(\frac53\right)^{-2}$$

   Тогда

   $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac53\right)^{2x-6}$$

   Так как основание $\frac53>1$, сравниваем показатели:

   $$2x-8<2x-6$$

   $$-8<-6$$

   Это верно при любом $x$, значит неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;-\frac45\right]$$; б) $$\varnothing$$; в) $$x\in[-5;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.