Упр.13.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.46. а) При каких значениях параметра а неравенство 9x — 4(а — 1) * 3x + а > 1 выполняется для любого значения х? б) При каких значениях параметра а неравенство 4х — (а — 3) * 2(х + 1) + 2а + 2 < 0 не имеет решений?

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$

Имеем:

$$9^x-4(a-1)\cdot 3^x+a>1$$

$$t^2-4(a-1)t+(a-1)>0.$$

Чтобы неравенство выполнялось при любом $$x,$$ оно должно быть верным при любом $$t>0.$$ Для квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом это возможно, если дискриминант меньше нуля:

$$D=16(a-1)^2-4(a-1)=16a^2-36a+20.$$

Тогда

$$16a^2-36a+20<0$$

$$4a^2-9a+5<0$$

$$4a^2-9a+5=(4a-5)(a-1).$$

Следовательно,

$$1<a<\frac54.$$

б) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$

Получаем:

$$4^x-(a-3)\cdot 2^{x+1}+2a+2<0$$

$$t^2-2(a-3)t+2a+2<0.$$

Чтобы это неравенство не имело решений при $$t>0,$$ достаточно, чтобы парабола не пересекала ось $$t$$ или чтобы оба её корня были неположительными.