Упр.13.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.45 а)(2x-8)(3x-81) < 0;' б)(3(x+2)-1/25)(5(3-2x)-0,2) больше или равно 0.
а) Преобразуем выражение:
$$ (2^x-8)(3^x-81)<0 $$
$$ (2^x-2^3)(3^x-3^4)<0 $$
Найдём нули множителей:
$$ 2^x-2^3=0 \Rightarrow x=3, $$
$$ 3^x-3^4=0 \Rightarrow x=4. $$
Рассмотрим знаки множителей:
- при $$x<3$$ оба множителя отрицательны, произведение положительно;
- при $$3<x<4$$ первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно;
- при $$x>4$$ оба множителя положительны, произведение положительно.
Значит, неравенство выполняется при
$$ x\in(3;4). $$
б) Преобразуем неравенство:
$$ \left(3^{x+2}-\frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x}-0{,}2\right)\ge 0 $$
$$ \left(3^{x+2}-3^{-3}\right)\left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)\ge 0 $$
$$ \left(3^{x+2}-3^{-3}\right)=3^{-3}\left(3^{x+5}-1\right), \qquad \left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)=5^{-1}\left(5^{4-2x}-1\right). $$
Так как множители $$3^{-3}$$ и $$5^{-1}$$ положительны, знак неравенства не меняется. Найдём точки, в которых выражение обращается в нуль:
$$ 3^{x+2}=\frac{1}{27}=3^{-3}\Rightarrow x+2=-3\Rightarrow x=-5, $$
$$ 5^{3-2x}=0{,}2=\frac{1}{5}=5^{-1}\Rightarrow 3-2x=-1\Rightarrow x=2. $$
Проверяем знаки на промежутках:
- при $$x<-5$$ оба множителя отрицательны, произведение положительно;
- при $$-5<x<2$$ множители разных знаков, произведение отрицательно;
- при $$x>2$$ оба множителя положительны, произведение положительно.
Так как требуется $$\ge 0$$, точки $$-5$$ и $$2$$ тоже входят в ответ.
$$ x\in[-5;2]. $$
Ответ
а) $$x\in(3;4)$$; б) $$x\in[-5;2]$$.
