Упр.13.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.44 а)(x2-2)/(2x-8) < 0;б)(x2-5)/(5x-125)больше или равно 0.

а) $$\frac{x^2-2}{2x-8}<0$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{2(x-4)}<0$$

Так как множитель $$2>0$$, он не влияет на знак, поэтому рассматриваем неравенство

$$\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x-4}<0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt2,\ \sqrt2,\ 4.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• $$(-\infty,-\sqrt2)$$ — знак «−»;
• $$(-\sqrt2,\sqrt2)$$ — знак «+»;
• $$(\sqrt2,4)$$ — знак «−»;
• $$ (4,+\infty)$$ — знак «+».

Нужно, чтобы дробь была отрицательной, значит берём промежутки с минусом:

$$x\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,4).$$

б) $$\frac{x^2-5}{5x-125}\ge 0$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)}{5(x-25)}\ge 0$$

Так как $$5>0$$, получаем равносильное неравенство

$$\frac{(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)}{x-25}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-\sqrt5,\ \sqrt5,\ 25.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• $$(-\infty,-\sqrt5)$$ — знак «−»;
• $$(-\sqrt5,\sqrt5)$$ — знак «+»;
• $$(\sqrt5,25)$$ — знак «−»;
• $$ (25,+\infty)$$ — знак «+».

Так как требуется $$\ge 0$$, берём положительные промежутки и нули числителя, но исключаем точку $$x=25$$, где знаменатель равен нулю:

$$x\in[-\sqrt5,\sqrt5]\cup(25,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,4)$$;

б) $$x\in[-\sqrt5,\sqrt5]\cup(25,+\infty).$$