Упр.13.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.42 Решите неравенство: а)(x2+4x+4)(3x-27) больше или равно 0; б)(0,2x-0,008)/(x2-10x+25) < 0; в)(25-0,2x)/(4x2-4x+1) меньше или равно 0; г)(x2+6x+9)/(2x-4) > 0
а) $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+2)^2}{3^x-3^3}\ge 0.$$
Числитель $$ (x+2)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$, и равен нулю при $$x=-2$$. Знаменатель обращается в нуль при $$x=3$$, поэтому $$x\ne 3$$.
Для $$x>3$$ знаменатель положителен, значит дробь неотрицательна. При $$x=-2$$ числитель равен нулю, а знаменатель отрицателен, поэтому значение дроби равно нулю и подходит.
Итак, $$x=-2$$ или $$x>3$$.
б) $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$
Преобразуем:
$$\frac{0{,}2^x-0{,}2^3}{(x-5)^2}<0.$$
Знаменатель $$ (x-5)^2>0 $$ при всех $$x\ne 5$$, значит знак дроби определяется числителем. Тогда нужно:
$$0{,}2^x-0{,}2^3<0.$$
Так как $$0<0{,}2<1$$, функция $$0{,}2^x$$ убывает, поэтому
$$0{,}2^x<0{,}2^3 \iff x>3.$$
С учётом ОДЗ $$x\ne 5$$ получаем:
$$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$
в) $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2-4x+1}\le 0$$
Преобразуем:
$$\frac{5^{-x}-5^{-2}}{(2x-1)^2}\le 0.$$
Знаменатель $$ (2x-1)^2>0 $$ при всех $$x\ne \frac12$$, значит нужно:
$$5^{-x}-5^{-2}\le 0.$$
Так как $$0<5^{-1}<1$$, функция $$5^{-x}$$ убывает, поэтому
$$5^{-x}\le 5^{-2}\iff x\ge 2.$$
Точка $$x=\frac12$$ не входит в найденный промежуток, значит
$$x\in[2;+\infty).$$
г) $$\frac{x^2+6x+9}{2x-4}>0$$
Преобразуем:
$$\frac{(x+3)^2}{2(x-2)}>0.$$
Числитель $$ (x+3)^2\ge 0 $$ и равен нулю при $$x=-3$$. Чтобы дробь была положительной, числитель должен быть положительным, а знаменатель — положительным:
$$x\ne -3,\quad x>2.$$
Следовательно,
$$x\in(2;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty)$$; б) $$x\in(3;5)\cup(5;+\infty)$$; в) $$x\in[2;+\infty)$$; г) $$x\in(2;+\infty)$$.
