Упр.13.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.41 а)система 3(2x+1) больше или равно 9, 0,5( x-1) меньше или равно 2; б)система (0,3)(-4x+1) меньше или равно 100/9, 10(2x+4) больше или равно 1; в)система (корень 3)(6x-2) больше или равно 1/81, (0,2)(3x+1) меньше или равно 5(x-1); г)система (корень 2)(-3x-1) меньше или равно 2 корень 2, (корень 0,4)(4x-2) > 0,16.

Подробный ответ

а)
$$3^{2x+1}\ge 9=3^2 \Rightarrow 2x+1\ge 2 \Rightarrow x\ge \frac12.$$
$$0{,}5^{x-1}\le 2=0{,}5^{-1} \Rightarrow x-1\ge -1 \Rightarrow x\ge 0.$$
Пересечение решений:
$$x\ge \frac12.$$
б)
$$(0{,}3)^{-4x+1}\le \frac{100}{9}=\left(\frac{10}{3}\right)^2=(0{,}3)^{-2}.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то знак неравенства при переходе к показателям меняется:
$$-4x+1\ge -2 \Rightarrow -4x\ge -3 \Rightarrow x\le \frac34.$$
$$10^{2x+4}\ge 1=10^0 \Rightarrow 2x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$
Пересечение решений:
$$x\in\left[-2;\frac34\right].$$
в)
$$(\sqrt3)^{6x-2}\ge \frac1{81}=3^{-4}=(\sqrt3)^{-8}.$$
$$6x-2\ge -8 \Rightarrow 6x\ge -6 \Rightarrow x\ge -1.$$
$$(0{,}2)^{3x+1}\le 5^{x-1}.$$
$$0{,}2=\frac15,\qquad \left(\frac15\right)^{3x+1}\le \left(\frac15\right)^{1-x}.$$
Так как $$0<\frac15<1,$$ получаем:
$$3x+1\ge 1-x \Rightarrow 4x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0.$$
Пересечение решений:
$$x\in[0;+\infty).$$
г)
$$(\sqrt2)^{-3x-1}\le 2\sqrt2=(\sqrt2)^3.$$
$$-3x-1\le 3 \Rightarrow -3x\le 4 \Rightarrow x\ge -\frac43.$$
$$(\sqrt{0{,}4})^{4x-2}>0{,}16.$$
$$0{,}4^{\frac12(4x-2)}>0{,}4^2.$$
Так как $$0<0{,}4<1,$$ то
$$2x-1<2 \Rightarrow 2x<3 \Rightarrow x<\frac32.$$
Пересечение решений:
$$x\in\left[-\frac43;\frac32\right).$$