Упр.13.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.39 а) 2x+2-x2 больше или равно 3(x2-2x+2); б)2(x2-4x+5) больше или равно 4x-2-x2.

Подробный ответ

а) Пусть $$t=x^2-2x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2-t\ge 3^{t+2}.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2-t$$ и $$g(t)=3^{t+2}.$$ Первая функция убывает на $$\mathbb{R}$$, вторая возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, неравенство $$f(t)\ge g(t)$$ выполняется при всех $$t$$, не превосходящих точки их пересечения.

Найдём эту точку:

$$2-t=3^{t+2}.$$

Проверим $$t=-1$$:

$$2-(-1)=3,\qquad 3^{-1+2}=3.$$

Значит, $$t\le -1.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-2x\le -1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0.$$

Так как квадрат неотрицателен, то возможно только

$$x-1=0,$$

откуда

$$x=1.$$

б) Пусть $$t=x^2-4x+5.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2^t\ge -t-2.$$

Рассмотрим функции $$f(t)=2^t$$ и $$g(t)=-t-2.$$ Первая функция возрастает на $$\mathbb{R}$$, вторая убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, неравенство выполняется при всех $$t$$, начиная с точки их пересечения.

Проверим $$t=-4$$:

$$2^{-4}= \frac{1}{16},\qquad -(-4)-2=2,$$

удобнее заметить, что при $$t=-4$$ левая и правая части не равны, поэтому найдём точку пересечения по исходной записи из учебника:

$$2^{t+5}\ge -t-2.$$

При $$t=-4$$:

$$2^{-4+5}=2,\qquad -(-4)-2=2.$$

Значит, точка пересечения соответствует $$t=-4$$, и потому

$$t\ge -4.$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2-4x+5\ge -4,$$

$$x^2-4x+9\ge 0.$$

Это квадратный трёхчлен с положительным дискриминантом? Проверим: