Упр.13.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.38 а)x*2x < 8; б) x*(0,5)x больше или равно -8.

а) Рассмотрим неравенство $$x\cdot 2^x<8.$$

Если $$x\le 0,$$ то $$x\cdot 2^x\le 0<8,$$ значит, все такие значения $$x$$ подходят.

Если $$x>0,$$ то можно разделить обе части неравенства на положительное число $$x$$:

$$2^x<\frac{8}{x}.$$

Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\frac{8}{x}.$$ Их графики пересекаются при $$x=2,$$ так как

$$2^2=\frac{8}{2}=4.$$

При $$0<x<2$$ выполняется $$2^x<\frac{8}{x},$$ а при $$x>2$$ — нет. Значит, для положительных $$x$$ получаем $$0<x<2.$$

Объединяя с случаем $$x\le 0,$$ имеем:

$$x\in(-\infty;2).$$

б) Рассмотрим неравенство $$x\cdot (0{,}5)^x\ge -8.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$x\cdot (0{,}5)^x\ge 0\ge -8,$$ значит, все такие значения $$x$$ подходят.

Если $$x<0,$$ то, разделив обе части на отрицательное число $$x,$$ получаем знак неравенства:

$$ (0{,}5)^x\le -\frac{8}{x}. $$

Рассмотрим функции $$y=(0{,}5)^x$$ и $$y=-\frac{8}{x}.$$ Они пересекаются при $$x=-2,$$ так как

$$ (0{,}5)^{-2}=4,\qquad -\frac{8}{-2}=4.$$

При $$x<-2$$ выполняется $$ (0{,}5)^x>-\frac{8}{x},$$ а при $$-2\le x<0$$ — $$ (0{,}5)^x\le -\frac{8}{x}. $$

С учётом случая $$x\ge 0$$ получаем:

$$x\in[-2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;2);$$ б) $$x\in[-2;+\infty).$$