Упр.13.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.37 а)1/x меньше или равно (4,5)(x-1); б)5/x больше или равно 3(x-1) + 4.
а) $$\frac{1}{x}\le (4{,}5)^{x-1}$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x<0,$$ то $$\frac{1}{x}<0,$$ а $$ (4{,}5)^{x-1}>0.$$ Значит, неравенство выполняется при всех $$x<0.$$
2) Если $$x>0,$$ то обе части положительны. Проверим точку $$x=1$$:
$$\frac{1}{1}=1,\qquad (4{,}5)^{1-1}=1,$$
то есть равенство выполняется. При $$x>0$$ функция $$\frac{1}{x}$$ убывает, а функция $$ (4{,}5)^{x-1}$$ возрастает, поэтому при $$x\ge 1$$ неравенство верно, а при $$0<x<1$$ — нет.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$
б) $$\frac{5}{x}\ge 3(x-1)+4$$
Упростим правую часть:
$$\frac{5}{x}\ge 3x+1.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{5- x(3x+1)}{x}\ge 0,$$
$$\frac{-3x^2-x+5}{x}\ge 0,$$
$$\frac{(5-3x)(x+1)}{x}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=\frac{5}{3}.$$
Исследуем знак дроби на промежутках:
- при $$x\in(-\infty;-1]$$ неравенство выполняется;
- при $$x\in(-1;0)$$ не выполняется;
- при $$x\in(0;\frac{5}{3}]$$ неравенство выполняется;
- при $$x\in(\frac{5}{3};+\infty)$$ не выполняется.
С учётом того, что $$x\ne 0,$$ получаем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup(0;\frac{5}{3}].$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty);$$
б) $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;\frac{5}{3}].$$
