Упр.13.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.34 а)5x меньше или равно -x+6; б)(1/4)x > 3x+1; в)(1/2)x < 0,5x + 5; г)3x больше или равно -x+4.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=5^x$$ и $$g(x)=-x+6$$.
Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает, а функция $$g(x)=-x+6$$ убывает. Найдём точку их пересечения:
$$ 5^1=5,\qquad -1+6=5. $$
Значит, при $$x=1$$ значения функций равны. Так как $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то неравенство $$5^x\le -x+6$$ выполняется при $$x\le 1$$.
$$x\in(-\infty;1].$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ и $$g(x)=3x+1$$.
Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$g(x)=3x+1$$ возрастает. Найдём точку их пересечения:
$$ \left(\frac14\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1. $$
Значит, при $$x=0$$ значения функций равны. Тогда неравенство $$\left(\frac14\right)^x>3x+1$$ выполняется при $$x<0$$.
$$x\in(-\infty;0).$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ и $$g(x)=0{,}5x+5$$.
Функция $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ убывает, а функция $$g(x)=0{,}5x+5$$ возрастает. Найдём точку их пересечения:
$$ \left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad 0{,}5\cdot(-2)+5=4. $$
Значит, при $$x=-2$$ значения функций равны. Тогда неравенство $$\left(\frac12\right)^x<0{,}5x+5$$ выполняется при $$x>-2$$.
$$x\in(-2;+\infty).$$
г) Рассмотрим функции $$f(x)=3^x$$ и $$g(x)=-x+4$$.
Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает, а функция $$g(x)=-x+4$$ убывает. Найдём точку их пересечения:
$$ 3^1=3,\qquad -1+4=3. $$
Значит, при $$x=1$$ значения функций равны. Тогда неравенство $$3^x\ge -x+4$$ выполняется при $$x\ge 1$$.
$$x\in[1;+\infty).$$