Упр.13.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.33 а)5x-30*(корень 5)x + 125 больше или равно 0; б)0,2x-1,2(корень 0,2)x + 0,2 меньше или равно 0; в)3(x+1)-28*(корень 3)x + 9 меньше или равно 0; г)7(x+1)-50*(корень 7)x + 7 больше или равно 0.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=(\sqrt{5})^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-30y+125\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=30^2-4\cdot125=900-500=400,$$
$$y_{1,2}=\frac{30\pm20}{2},\quad y_1=5,\; y_2=25.$$
Тогда
$$ (y-5)(y-25)\ge 0, $$
откуда $$y\le 5$$ или $$y\ge 25.$$
Возвращаясь к $$y=(\sqrt{5})^x$$, получаем:
$$ (\sqrt{5})^x\le 5 \Rightarrow x\le 2, $$
$$ (\sqrt{5})^x\ge 25 \Rightarrow x\ge 4. $$
Значит, $$x\in(-\infty;2]\cup[4;+\infty).$$
б) Пусть $$y=(\sqrt{0,2})^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-1,2y+0,2\le 0.$$
Умножим на $$5$$:
$$5y^2-6y+1\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=6^2-4\cdot5\cdot1=36-20=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm4}{10},\quad y_1=0,2,\; y_2=1.$$
Тогда
$$ (y-0,2)(y-1)\le 0, $$
откуда $$0,2\le y\le 1.$$
Следовательно,
$$ (\sqrt{0,2})^x\ge 0,2 \Rightarrow x\le 2, $$
$$ (\sqrt{0,2})^x\le 1 \Rightarrow x\ge 0. $$
Значит, $$x\in[0;2].$$
в) Перепишем неравенство:
$$3^{x+1}-28\cdot(\sqrt{3})^x+9\le 0,$$
$$3\cdot3^x-28\cdot(\sqrt{3})^x+9\le 0.$$
Пусть $$y=(\sqrt{3})^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$3y^2-28y+9\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=28^2-4\cdot3\cdot9=784-108=676,$$
$$y_{1,2}=\frac{28\pm26}{6},\quad y_1=\frac13,\; y_2=9.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-9)\le 0, $$
откуда $$\frac13\le y\le 9.$$
Следовательно,
$$ (\sqrt{3})^x\ge \frac13 \Rightarrow x\ge -2, $$
$$ (\sqrt{3})^x\le 9 \Rightarrow x\le 4. $$
Значит, $$x\in[-2;4].$$
г) Перепишем неравенство:
$$7^{x+1}-50\cdot(\sqrt{7})^x+7\ge 0,$$
$$7\cdot7^x-50\cdot(\sqrt{7})^x+7\ge 0.$$
Пусть $$y=(\sqrt{7})^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$7y^2-50y+7\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=50^2-4\cdot7\cdot7=2500-196=2304,$$
$$y_{1,2}=\frac{50\pm48}{14},\quad y_1=\frac17,\; y_2=7.$$
Тогда
$$\left(y-\frac17\right)(y-7)\ge 0, $$
откуда $$y\le \frac17$$ или $$y\ge 7.$$
Следовательно,
$$ (\sqrt{7})^x\le \frac17 \Rightarrow x\le -2, $$
$$ (\sqrt{7})^x\ge 7 \Rightarrow x\ge 2. $$
Значит, $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$