Упр.13.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.32 а) 2(6x-10) — 9*2(3x-5)+8 меньше или равно 0; б)5(2x+1) — 5(x+2) меньше или равно 5x-5; в)3(8x+6)-10*3(4x+3) + 9 больше или равно 0; г)3(2x+2)-3(x+4) < 3x-9.

1. а)
   $$2^{6x-10}-9\cdot 2^{3x-5}+8\le 0.$$
   Пусть $$t=2^{3x-5}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ t^2-9t+8\le 0. $$
   Разложим на множители:
   $$ (t-1)(t-8)\le 0. $$
   Отсюда
   $$ 1\le t\le 8. $$
   Значит,
   $$ 1\le 2^{3x-5}\le 8=2^3. $$
   Так как основание $$2>1$$, получаем
   $$ 0\le 3x-5\le 3. $$
   Тогда
   $$ 5\le 3x\le 8, $$
   $$ \frac53\le x\le \frac83. $$

2. б)
   $$5^{2x+1}-5^{x+2}\le 5^x-5.$$
   Пусть $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ 5t^2-25t-t+5\le 0, $$
   $$ 5t^2-26t+5\le 0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}. $$
   Получаем
   $$ t_1=\frac15,\qquad t_2=5. $$
   Тогда
   $$ \frac15\le t\le 5, $$
   то есть
   $$ \frac15\le 5^x\le 5. $$
   Следовательно,
   $$ -1\le x\le 1. $$

3. в)
   $$3^{8x+6}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0.$$
   Пусть $$t=3^{4x+3}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ t^2-10t+9\ge 0. $$
   Разложим на множители:
   $$ (t-1)(t-9)\ge 0. $$
   Отсюда
   $$ t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 9. $$
   Значит,
   $$ 3^{4x+3}\le 1 \quad \text{или} \quad 3^{4x+3}\ge 9=3^2. $$
   Тогда
   $$ 4x+3\le 0 \quad \text{или} \quad 4x+3\ge 2. $$
   Получаем
   $$ x\le -\frac34 \quad \text{или} \quad x\ge -\frac14. $$

4. г)
   $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9.$$
   Перепишем:
   $$ 9\cdot 3^{2x}-81\cdot 3^x-3^x+9<0, $$
   $$ 9\cdot 3^{2x}-82\cdot 3^x+9<0. $$
   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ 9t^2-82t+9<0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=82^2-4\cdot 9\cdot 9=6400, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{82\pm 80}{18}. $$
   Получаем
   $$ t_1=\frac19,\qquad t_2=9. $$
   Тогда
   $$ \frac19<t<9, $$
   то есть
   $$ \frac19<3^x<9=3^2. $$
   Следовательно,
   $$ -2<x<2. $$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac53;\frac83\right]$$;
б) $$x\in[-1;1]$$;
в) $$x\in\left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[-\frac14;+\infty\right)$$;
г) $$x\in(-2;2)$$.