Упр.13.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.31 а)2(2x+1)-5*2x+2 больше или равно 0; б)3(2x+1)-10*3x+3 < 0; в)(1/4)(2x-1)+15*(1/4)x-4 < 0; г)(0,5)(2x-1)+3*(0,5)x-2 больше или равно 0.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:
$$2y^2-5y+2\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}, \quad y_1=\frac12,\; y_2=2.$$
Тогда
$$\left(y-\frac12\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда
$$y\le \frac12 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$:
$$2^x\le \frac12=2^{-1}\Rightarrow x\le -1,$$
$$2^x\ge 2\Rightarrow x\ge 1.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
б) Пусть $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$3y^2-10y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}, \quad y_1=\frac13,\; y_2=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)<0,$$
откуда
$$\frac13<y<3.$$
Переходим к $$x$$:
$$3^x>\frac13=3^{-1}\Rightarrow x>-1,$$
$$3^x<3\Rightarrow x<1.$$
Значит,
$$x\in(-1;1).$$
в) Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$4y^2+15y-4<0.$$
Найдём корни:
$$D=225+64=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}, \quad y_1=-4,\; y_2=\frac14.$$
Тогда
$$(y+4)\left(y-\frac14\right)<0,$$
откуда
$$-4<y<\frac14.$$
Так как $$y>0$$, получаем
$$0<y<\frac14.$$
Следовательно,
$$\left(\frac14\right)^x<\frac14=\left(\frac14\right)^1.$$
Так как основание $$\frac14<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:
$$x>1.$$
Итак,
$$x\in(1;+\infty).$$
г) Пусть $$y=(0{,}5)^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$2y^2+3y-2\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}, \quad y_1=-2,\; y_2=\frac12.$$
Тогда
$$(y+2)\left(y-\frac12\right)\ge 0,$$
откуда
$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge \frac12.$$
Так как $$y>0$$, остаётся
$$y\ge \frac12.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$0{,}5^x\ge 0{,}5=0{,}5^1.$$
Поскольку $$0{,}5<1$$, получаем
$$x\le 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;1].$$