Упр.13.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.30 а)(3x-1)(3^2x+3x+1) меньше или равно 0; б)(7x+1)(7^2x-7x + 1) больше или равно 0; в)(0,2x-0,2)(0,04x+0,2(x+1)+0,04) < 0; г)((2/3)x-9/4)*((4/9)x+(2/3)(x-2)+81/16) > 0.

1. а) Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем

   $$ (t-1)(t^2+t+1)\le 0. $$

   Так как $$t^2+t+1>0$$ при любых $$t$$, то

   $$t-1\le 0,\quad t\le 1.$$

   Следовательно,

   $$3^x\le 1=3^0,\quad x\le 0.$$

2. б) Обозначим $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем

   $$ (t+1)(t^2-t+1)\ge 0. $$

   Так как $$t+1>0$$ и $$t^2-t+1>0$$ при любых $$t$$, то неравенство верно при всех $$x$$.

3. в) Преобразуем выражение:

   $$ (0{,}2^x-0{,}2)\bigl(0{,}04^x+0{,}2^{x+1}+0{,}04\bigr)<0. $$

   Заметим, что $$0{,}04^x=(0{,}2^2)^x=0{,}2^{2x}$$, поэтому

   $$ (0{,}2^x-0{,}2)\bigl(0{,}2^{2x}+0{,}2\cdot 0{,}2^x+0{,}2^2\bigr)<0. $$

   Обозначим $$t=0{,}2^x$$, тогда $$t>0$$:

   $$ (t-0{,}2)(t^2+0{,}2t+0{,}04)<0. $$

   Второй множитель всегда положителен, значит

   $$t-0{,}2<0,\quad t<0{,}2=0{,}2^1.$$

   Так как основание $$0{,}2<1$$, получаем

   $$x>1.$$

4. г) Обозначим $$t=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем

   $$ \left(t-\dfrac{9}{4}\right)\left(t^2+\dfrac{9}{4}t+\left(\dfrac{9}{4}\right)^2\right)>0. $$

   Второй множитель всегда положителен, поэтому

   $$ t-\dfrac{9}{4}>0,\quad \left(\dfrac{2}{3}\right)^x>\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}. $$

   Так как $$\dfrac{2}{3}<1$$, то

   $$x<-2.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0]$$; б) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; в) $$x\in(1;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;-2)$$.