Упр.13.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.29 а)3^3x — 3(2x+1)+3(x+1) — 1 больше или равно 0; б)(1/2)3x-9*(1/2)2x+27*(1/2)x-27 < 0; в)2^3x+15*2^2x+75*2x+125 меньше или равно 0; г)0,1^3x-3*0,01x+3*0,1x-1 > 0.

1. а) Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем

   $$3^{3x}-3^{2x+1}+3^{x+1}-1\ge 0$$

   $$t^3-3t^2+3t-1\ge 0$$

   $$\left(t-1\right)^3\ge 0.$$

   Так как куб неотрицателен тогда и только тогда, когда его основание неотрицательно, то

   $$t-1\ge 0,$$

   $$3^x\ge 1,$$

   $$x\ge 0.$$

2. б) Обозначим $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем

   $$\left(\frac12\right)^{3x}-9\left(\frac12\right)^{2x}+27\left(\frac12\right)^x-27<0$$

   $$t^3-9t^2+27t-27<0$$

   $$\left(t-3\right)^3<0.$$

   Следовательно,

   $$t-3<0,$$

   $$\left(\frac12\right)^x<3,$$

   $$x&gt{\log}_{\frac12}3.$$

3. в) Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$. Тогда

   $$2^{3x}+15\cdot 2^{2x}+75\cdot 2^x+125\le 0$$

   $$t^3+15t^2+75t+125\le 0$$

   $$\left(t+5\right)^3\le 0.$$

   Но при $$t>0$$ имеем $$t+5>0$$, значит левая часть всегда положительна. Решений нет.

4. г) Обозначим $$t=0{,}1^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем

   $$0{,}1^{3x}-3\cdot 0{,}01^x+3\cdot 0{,}1^x-1>0$$

   $$t^3-3t^2+3t-1>0$$

   $$\left(t-1\right)^3>0.$$

   Значит,

   $$t-1>0,$$

   $$0{,}1^x>1,$$

   $$x<0.$$

Ответ

а) $$x\in[0;+\infty)$$; б) $$x\in\left(\log_{\frac12}3;+\infty\right)$$; в) $$\varnothing$$; г) $$x\in(-\infty;0)$$.