Упр.13.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 13.28 а)5/(12x+143) больше или равно 5/12(x+2); б)(16x+42)/16x меньше или равно 22; в)8/(11x+120) меньше или равно 8/11(x+2); г)(5x+15)/5x < 4

1. а)

   $$\frac{5}{12^x+143}\ge \frac{5}{12^{x+2}}$$
   
   Так как $$5>0$$, а знаменатели положительны, умножим обе части на $$12^x(12^x+143)12^2>0$$:
   $$12^x\cdot 12^2 \ge 12^x+143$$
   
   Удобно ввести $$t=12^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$144t \ge t+143$$
   $$143t \ge 143$$
   $$t \ge 1$$
   $$12^x \ge 1$$
   $$x \ge 0$$

2. б)

   $$\frac{16^x+42}{16^x}\le 22$$
   
   При $$16^x>0$$ умножим обе части на $$16^x$$:
   $$16^x+42\le 22\cdot 16^x$$
   $$42\le 21\cdot 16^x$$
   $$2\le 16^x$$
   $$16^x\ge 2$$
   $$2^{4x}\ge 2^1$$
   $$4x\ge 1$$
   $$x\ge \frac14$$

3. в)

   $$\frac{8}{11^x+120}\le \frac{8}{11^{x+2}}$$
   
   Так как знаменатели положительны, умножим обе части на $$11^x(11^x+120)11^2>0$$:
   $$11^x\cdot 11^2 \le 11^x+120$$
   
   Пусть $$t=11^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$121t \le t+120$$
   $$120t \le 120$$
   $$t \le 1$$
   $$11^x \le 1$$
   $$x \le 0$$

4. г)

   $$\frac{5^x+15}{5^x}<4$$
   
   При $$5^x>0$$ умножим обе части на $$5^x$$:
   $$5^x+15<4\cdot 5^x$$
   $$15<3\cdot 5^x$$
   $$5<5^x$$
   $$5^1<5^x$$
   $$x>1$$

Ответ

а) $$x\in[0;+\infty)$$; б) $$x\in\left[\frac14;+\infty\right)$$; в) $$x\in(-\infty;0]$$; г) $$x\in(1;+\infty)$$.