Упр.13.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.22 Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а)5(x2-2x) меньше или равно 125; б)(1/7)(2×2-3x) больше или равно 1/49; в)2(-x2+8) > 128; г)(0,3)(x2-x) > 0,09?

Подробный ответ

$$5(x^2-2x)\le 125$$
$$x^2-2x\le 25$$
$$x^2-2x-25\le 0$$
Найдём корни уравнения $$x^2-2x-25=0$$:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-25)=4+100=104$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{104}}{2}=1\pm \sqrt{26}$$
Тогда
$$1-\sqrt{26}\le x\le 1+\sqrt{26}$$
Целые решения: $$x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$$. Их $$10$$.
$$\frac17(2x^2-3x)\ge \frac1{49}$$
Умножим на $$49$$:
$$7(2x^2-3x)\ge 1$$
$$14x^2-21x-1\ge 0$$
Найдём корни уравнения $$14x^2-21x-1=0$$:
$$D=(-21)^2-4\cdot 14\cdot(-1)=441+56=497$$
$$x_{1,2}=\frac{21\pm \sqrt{497}}{28}$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется вне промежутка между корнями. Целые решения: $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$. Но при проверке на целые числа из промежутка между корнями получаем, что подходят только $$x=0,1,2$$? Нет, удобнее решить исходное неравенство напрямую:
$$2x^2-3x\ge \frac17$$
Поскольку левая часть — целое выражение при целых $$x$$, достаточно проверить, что
$$2x^2-3x\ge 1$$
$$2x^2-3x-1\ge 0$$
$$D=9+8=17$$, корни: $$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}$$.
Тогда целые решения: $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$, но из исходного неравенства подходят целые числа $$x=0,1,2$$. Их $$3$$.
$$2(-x^2+8)>128$$
$$-x^2+8>64$$
$$-x^2>56$$
$$x^2<-56$$
Это невозможно, значит целых решений нет.
$$0{,}3(x^2-x)>0{,}09$$
$$x^2-x>0{,}3$$
$$x^2-x-0{,}3>0$$
Найдём корни уравнения $$x^2-x-0{,}3=0$$:
$$D=1+1{,}2=2{,}2$$
Корни не являются целыми, а по знакам выражения получаем, что целые решения: $$x\le -1$$ или $$x\ge 2$$.
Но при целых $$x$$ из исходного неравенства подходят $$x=0,1,2,\dots$$? Проверим напрямую:
$$0{,}3(x^2-x)>0{,}09 \iff x^2-x>0{,}3$$
Для целых $$x$$ это равносильно $$x^2-x\ge 1$$, то есть
$$x^2-x-1\ge 0$$
Корни: $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}$$, значит целые решения: $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$. Их бесконечно много.