Упр.13.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.20 Сколько натуральныъ чисел являются решениями неравества: а)8(-2x+8) > 512; б)(1/9)(8x-23) больше или равно 1/81; в)2(5x-7) меньше или равно 16; г)0,1(4x-5) > 0,001?
а) $$8^{-2x+8} > 512$$
Представим числа в виде степеней восьмёрки: $$512=8^3$$.
$$8^{-2x+8} > 8^3$$
$$-2x+8 > 3$$
$$-2x > -5$$
$$x < 2{,}5$$Натуральные решения: $$x=1,2$$. Их $$2$$.
б) $$\left(\frac{1}{9}\right)^{8x-23} \ge \frac{1}{81}$$
Запишем правую часть как степень числа $$\frac{1}{9}$$: $$\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{9}\right)^2$$.
$$\left(\frac{1}{9}\right)^{8x-23} \ge \left(\frac{1}{9}\right)^2$$
Так как $$0<\frac{1}{9}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$8x-23 \le 2$$
$$8x \le 25$$
$$x \le \frac{25}{8}=3{,}125$$Натуральные решения: $$x=1,2,3$$. Их $$3$$.
в) $$2^{5x-7} \le 16$$
Представим $$16$$ как степень двойки: $$16=2^4$$.
$$2^{5x-7} \le 2^4$$
$$5x-7 \le 4$$
$$5x \le 11$$
$$x \le 2{,}2$$Натуральные решения: $$x=1,2$$. Их $$2$$.
г) $$0{,}1^{4x-5} > 0{,}001$$
Запишем $$0{,}001$$ как степень числа $$0{,}1$$: $$0{,}001=0{,}1^3$$.
$$0{,}1^{4x-5} > 0{,}1^3$$
Так как $$0<0{,}1<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$4x-5 < 3$$
$$4x < 8$$
$$x < 2$$Натуральное решение: $$x=1$$. Оно одно.
Ответ
а) 2; б) 3; в) 2; г) 1.
