Упр.13.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.19 а)(1/2)|x| < (1/4)|x+8|; б)(0,2)|-x| > (0,04)|x-9|; в)(корень 3)2|x| меньше или равно 3|-x+9|; г)(корень 5)(-3|x| больше или равно 5|-9x-1|.

1. $$\left(\frac12\right)^{|x|}<\left(\frac14\right)^{|x+8|}$$
   $$\left(\frac12\right)^{|x|}<\left(\frac12\right)^{2|x+8|}$$
   Так как основание $$\frac12<1,$$ получаем: $$|x|>2|x+8|.$$
   
   Возведём в квадрат:
   $$x^2>4(x+8)^2,$$
   $$x^2>4x^2+64x+256,$$
   $$3x^2+64x+256<0.$$
   Найдём корни:
   $$D=64^2-4\cdot 3\cdot 256=1024,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-64\pm 32}{6}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-16,\qquad x_2=-\frac{16}{3}.$$
   
   Тогда
   $$x\in\left(-16;-\frac{16}{3}\right).$$
2. $$(0{,}2)^{-x}>(0{,}04)^{|x-9|}$$
   
   $$\left(\frac15\right)^{-x}>\left(\frac15\right)^{2|x-9|}$$
   
   Так как основание $$\frac15<1,$$ имеем: $$-x<2|x-9|.$$
   Удобнее записать через модуль:
   $$|{-x}|<2|x-9|.$$ Возведём в квадрат: $$x^2<4(x-9)^2,$$ $$x^2<4x^2-72x+324,$$ $$3x^2-72x+324>0.$$
   
   Найдём корни:
   $$D=72^2-4\cdot 3\cdot 324=1296,$$
   $$x_{1,2}=\frac{72\pm 36}{6}.$$
   Тогда
   $$x_1=6,\qquad x_2=18.$$
   
   Поскольку парабола направлена вверх, получаем:
   $$x\in(-\infty;6)\cup(18;+\infty).$$
3. $$(\sqrt3)^{2|x|}\le 3^{|-x+9|}$$
   
   $$3^{|x|}\le 3^{|9-x|}$$
   
   Так как основание $$3>1,$$ имеем:
   $$|x|\le |9-x|.$$
   Возведём в квадрат:
   $$x^2\le (9-x)^2,$$
   $$x^2\le 81-18x+x^2,$$
   $$18x\le 81,$$
   $$x\le \frac{9}{2}.$$
   
   Следовательно,
   $$x\in\left(-\infty;\frac92\right].$$
4. $$(\sqrt5)^{-3|x|}\ge 5^{-\,|9x-1|}$$
   
   $$5^{-1{,}5|x|}\ge 5^{-|9x-1|}$$
   
   Так как основание $$5>1,$$ получаем:
   $$-1{,}5|x|\ge -|9x-1|,$$
   $$1{,}5|x|\le |9x-1|.$$
   Возведём в квадрат:
   $$2{,}25x^2\le (9x-1)^2,$$
   $$2{,}25x^2\le 81x^2-18x+1,$$
   $$78{,}75x^2-18x+1\ge 0.$$
   Умножим на $$4$$:
   $$315x^2-72x+4\ge 0.$$
   
   Найдём корни:
   $$D=72^2-4\cdot 315\cdot 4=144,$$
   $$x_{1,2}=\frac{72\pm 12}{630}.$$
   Тогда
   $$x_1=\frac{2}{21},\qquad x_2=\frac{2}{15}.$$
   
   Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, имеем:
   $$x\in\left(-\infty;\frac{2}{21}\right]\cup\left[\frac{2}{15};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-16;-\frac{16}{3}\right)$$;
б) $$x\in(-\infty;6)\cup(18;+\infty)$$;
в) $$x\in\left(-\infty;\frac92\right]$$;
г) $$x\in\left(-\infty;\frac{2}{21}\right]\cup\left[\frac{2}{15};+\infty\right).$$