Упр.13.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.18 а) 2|x-3| больше или равно корень 4 степени 2; б)5|x+9| меньше или равно корень 3 степени 25; в)(1/4)(|x|*(x-1)) больше или равно 1/16; г)(0,3)|x2-1| меньше или равно 0,027.
а) $$2^{|x-3|}\ge \sqrt[4]{2}.$$
Так как $$\sqrt[4]{2}=2^{1/4},$$ получаем
$$2^{|x-3|}\ge 2^{1/4}\;\Rightarrow\; |x-3|\ge \frac14.$$
Тогда
$$x-3\ge \frac14 \quad \text{или} \quad x-3\le -\frac14.$$
Отсюда
$$x\ge \frac{13}{4} \quad \text{или} \quad x\le \frac{11}{4}.$$
б) $$5^{|x+9|}\le \sqrt[3]{25}.$$
Так как $$\sqrt[3]{25}=5^{2/3},$$ имеем
$$5^{|x+9|}\le 5^{2/3}\;\Rightarrow\; |x+9|\le \frac23.$$
Тогда
$$-\frac23\le x+9\le \frac23,$$
откуда
$$-\frac{29}{3}\le x\le -\frac{25}{3}.$$
в) $$\left(\frac14\right)^{|x|(x-1)}\ge \frac{1}{16}.$$
Заметим, что $$\frac{1}{16}=\left(\frac14\right)^2.$$ Так как $$0<\frac14<1,$$ при сравнении степеней знак неравенства меняется:
$$|x|(x-1)\le 2.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x(x-1)\le 2 \;\Rightarrow\; x^2-x-2\le 0 \;\Rightarrow\; (x+1)(x-2)\le 0.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x\le 2.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x(x-1)\le 2 \;\Rightarrow\; x^2-x+2\ge 0.$$
Это неравенство верно при всех $$x,$$ значит при $$x<0$$ подходят все значения.
Итак, $$x\in(-\infty;2].$$
г) $$0{,}3^{|x^2-1|}\le 0{,}027.$$
Так как $$0{,}027=(0{,}3)^3,$$ то
$$0{,}3^{|x^2-1|}\le 0{,}3^3.$$
Поскольку $$0<0{,}3<1,$$ получаем
$$|x^2-1|\ge 3.$$
Тогда
$$x^2-1\ge 3 \quad \text{или} \quad x^2-1\le -3.$$
Из первого:
$$x^2\ge 4 \;\Rightarrow\; x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Из второго:
$$x^2\le -2,$$
что невозможно.
Следовательно, $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;\frac{11}{4}]\cup[\frac{13}{4};+\infty);$$ б) $$x\in\left[-\frac{29}{3};-\frac{25}{3}\right];$$ в) $$x\in(-\infty;2];$$ г) $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
