Упр.13.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.16 а)3((x-4)/x — 3) < 1/27; б)(8/9)((6x-1)/x - 4) больше или равно 81/64; в)8((2-x)/x - 2) > 1/64; г)(6/11)((5x+1)/x — 1) меньше или равно 121/36.
а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}$$
Так как $$\frac{1}{27}=3^{-3}$$, то
$$3^{\frac{x-4}{x}-3}<3^{-3}.$$
При основании $$3>1$$ сравниваем показатели:
$$\frac{x-4}{x}-3<-3.$$
$$\frac{x-4}{x}<0.$$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Получаем
$$0<x<4.$$
б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \frac{81}{64}$$
Заметим, что $$\frac{81}{64}=\left(\frac{8}{9}\right)^{-2}.$$ Тогда
$$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \left(\frac{8}{9}\right)^{-2}.$$
Так как $$0<\frac{8}{9}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$\frac{6x-1}{x}-1\le -2.$$
$$\frac{6x-1}{x}+1\le 0,$$
$$\frac{7x-1}{x}\le 0.$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{1}{7}.$$ По знакам дроби:
$$0<x\le \frac{1}{7}.$$
в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}$$
Так как $$\frac{1}{64}=8^{-2}$$, то
$$8^{\frac{2-x}{x}-2}>8^{-2}.$$
При основании $$8>1$$ сравниваем показатели:
$$\frac{2-x}{x}-2>-2.$$
$$\frac{2-x}{x}>0.$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Отсюда
$$0<x<2.$$
г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}+1}\le \frac{121}{36}$$
Заметим, что $$\frac{121}{36}=\left(\frac{6}{11}\right)^{-2}.$$ Тогда
$$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}+1}\le \left(\frac{6}{11}\right)^{-2}.$$
Так как $$0<\frac{6}{11}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$\frac{5x+1}{x}+1\ge -2.$$
$$\frac{5x+1}{x}+3\ge 0,$$
$$\frac{8x+1}{x}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-\frac{1}{8}$$ и $$x=0.$$ По знакам дроби:
$$x\in \left(-\infty;-\frac{1}{8}\right]\cup (0;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(0;4)$$; б) $$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right]$$; в) $$x\in(0;2)$$; г) $$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{8}\right]\cup(0;+\infty)$$.
