Упр.13.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.12 а) корень x степени 3 * корень x степени 2 больше или равно корень 6/36; б)корень x степени 0,1 * корень x степени 0,4 больше или равно 0,0016; в)корень x степени 2 * корень x степени 5 больше или равно корень 4 степени 10; г)корень x степени 1/9 * корень x степени 2 меньше или равно корень 15 степени 4/корень 15 степени 81.

Подробный ответ

а) $$\sqrt[x]{3}\cdot \sqrt[x]{2}\ge \frac{\sqrt6}{36}$$
$$\sqrt[x]{6}\ge 6^{\frac12}\cdot 6^{-2}=6^{-\frac32}$$
Так как основание $$6>1$$, сравниваем показатели:
$$\frac1x\ge -\frac32$$
$$\frac{2+3x}{2x}\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -\frac23,\quad x>0.$$
С учётом области допустимых значений получаем:
$$x=2,3,4,\ldots$$
б) $$\sqrt[x]{0{,}1}\cdot \sqrt[x]{0{,}4}\ge 0{,}0016$$
$$\sqrt[x]{0{,}04}\ge 0{,}0016$$
$$0{,}04^{\frac1x}\ge (0{,}04)^2$$
Так как основание $$0{,}04<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$\frac1x\le 2$$
$$\frac{2x-1}{x}\ge 0$$
Отсюда
$$x<0,\quad x\ge \frac12.$$
С учётом области допустимых значений:
$$x=2,3,4,\ldots$$
в) $$\sqrt[x]{2}\cdot \sqrt[x]{5}\ge \sqrt[4]{10}$$
$$\sqrt[x]{10}\ge \sqrt[4]{10}$$
$$10^{\frac1x}\ge 10^{\frac14}$$
Так как основание $$10>1$$, получаем:
$$\frac1x\ge \frac14$$
$$\frac{x-4}{4x}\le 0$$
Отсюда
$$0<x\le 4.$$
Следовательно,
$$x=2,3,4.$$
г) $$\sqrt[x]{\frac19}\cdot \sqrt[x]{2}\le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$$
$$\sqrt[x]{\frac29}\le \sqrt[15]{\frac4{81}}$$
$$\left(\frac29\right)^{\frac1x}\le \left(\frac29\right)^{\frac2{15}}$$
Так как $$0<\frac29<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:
$$\frac1x\ge \frac2{15}$$
$$\frac{2x-15}{15x}\le 0$$
Отсюда
$$0<x\le 7{,}5.$$
Так как $$x$$ — натуральное число, получаем:
$$x=2,3,4,5,6,7.$$