Упр.13.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 13.10 а) 2x*3x больше или равно 36x*корень 6; б)(1/3)x*4x < (16/9)(x-1); в)3x*5x меньше или равно 225x*корень 15; г)(2/11)x*3x > (36/121)(2x+3).

1. а) $$2^x\cdot 3^x \ge 36^x\cdot \sqrt{6}$$

   $$6^x \ge (6^2)^x\cdot 6^{1/2}$$

   $$6^x \ge 6^{2x+\frac12}$$

   Так как основание $$6>1$$, сравниваем показатели:

   $$x \ge 2x+\frac12$$

   $$-x \ge \frac12$$

   $$x \le -\frac12$$

2. б) $$\left(\frac13\right)^x\cdot 4^x < \left(\frac{16}{9}\right)^{x-1}$$

   $$\left(\frac43\right)^x < \left(\frac43\right)^{2x-2}$$

   Так как основание $$\frac43>1$$, получаем:

   $$x < 2x-2$$

   $$-x < -2$$

   $$x > 2$$

3. в) $$3^x\cdot 5^x \le 225^x\cdot \sqrt{15}$$

   $$15^x \le (15^2)^x\cdot 15^{1/2}$$

   $$15^x \le 15^{2x+\frac12}$$

   Так как основание $$15>1$$, имеем:

   $$x \le 2x+\frac12$$

   $$-x \le \frac12$$

   $$x \ge -\frac12$$

4. г) $$\left(\frac{2}{11}\right)^x\cdot 3^x > \left(\frac{36}{121}\right)^{2x+3}$$

   $$\left(\frac{6}{11}\right)^x > \left(\frac{6}{11}\right)^{2(2x+3)}$$

   Так как $$0<\frac{6}{11}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$x < 2(2x+3)$$

   $$x < 4x+6$$

   $$-3x < 6$$

   $$x > -2$$

Ответ

а) $$x \in (-\infty;\,-\frac12]$$; б) $$x \in (2;\,+\infty)$$; в) $$x \in [-\frac12;\,+\infty)$$; г) $$x \in (-2;\,+\infty)$$.