Упр.12.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 12.9 а)корень 625 * корень 5^(14x-9) = корень 6 степени 125*5^(6x-12); б)корень 3 степени 0,2 * корень 0,2^(2x-1/3)= корень 3 степени 0,04^(-3x+6).

Подробный ответ

а) Представим числа под корнями и степени через основания $5$:

$$ \sqrt{625}\cdot \sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot 5^{6x-12}} $$
$$ \sqrt{5^4}\cdot \sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{5^3\cdot 5^{6x-12}} $$
$$ 5^2\cdot 5^{\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{3+6x-12}{6}} $$
$$ 5^{2+\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{6x-9}{6}} $$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$$ 2+\frac{14x-9}{2}=\frac{6x-9}{6} $$
$$ 12+42x-27=6x-9 $$
$$ 36x=6 $$
$$ x=\frac{1}{6} $$

б) Запишем все числа через основание $0{,}2$:

$$ \sqrt[3]{0{,}2}\cdot \sqrt{0{,}2^{\,2x-\frac13}}=\sqrt[3]{0{,}04^{-3x+6}} $$
$$ 0{,}2^{\frac13}\cdot 0{,}2^{\frac{2x-\frac13}{2}}=\left(0{,}2^2\right)^{\frac{-3x+6}{3}} $$
$$ 0{,}2^{\frac13+x-\frac16}=0{,}2^{\frac{-6x+12}{3}} $$
$$ 0{,}2^{x+\frac16}=0{,}2^{-2x+4} $$

Приравниваем показатели:

$$ x+\frac16=-2x+4 $$
$$ 3x=\frac{23}{6} $$
$$ x=\frac{23}{18}=1\frac{5}{18} $$